- perkalian dari sejumlah α nyata oleh vektor v : α v memberikan vektor lain dan milik V .

Visi artistik dari ruang vektor. Sumber: Pixabay

Untuk menunjukkan vektor kita menggunakan huruf tebal ( v adalah vektor), dan untuk skalar atau angka huruf Yunani (α adalah angka).

Aksioma dan properti

Untuk ruang vektor yang akan diberikan, delapan aksioma berikut harus berlaku:

1-pergantian: u + v = v + u

2-Transitivitas: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Keberadaan vektor nol 0 sehingga 0 + v = v

4-Adanya kebalikannya: kebalikan dari v adalah (- v ), karena v + (- v ) = 0

5-Distributivitas produk sehubungan dengan jumlah vektor: α ( u + v ) = α u + α v

6-Distributivitas produk sehubungan dengan jumlah skalar: (α + β) v = α v + β v

7-Asosiasi produk skalar: α (β v ) = (α β) v

8-Angka 1 adalah elemen netral karena: 1 v = v

Contoh ruang vektor

Contoh 1

Vektor dalam bidang (R²) adalah contoh ruang vektor. Vektor pada bidang adalah benda geometris yang memiliki besaran dan arah. Ini diwakili oleh segmen berorientasi yang dimiliki bidang tersebut dan dengan ukuran yang sebanding dengan besarnya.

Jumlah dua vektor pada bidang dapat didefinisikan sebagai operasi translasi geometrik dari vektor kedua setelah vektor pertama. Hasil penjumlahannya adalah ruas orientasi yang dimulai dari titik awal hingga ujung ruas kedua.

Pada gambar terlihat bahwa penjumlahan dalam R² bersifat komutatif.

Gambar 2. Vektor-vektor dalam bidang vektor membentuk ruang. Sumber: buatan sendiri.

Produk dari bilangan α dan vektor juga ditentukan. Jika angkanya positif, arah vektor asli dipertahankan dan ukurannya α dikalikan dengan vektor aslinya. Jika angkanya negatif, arahnya berlawanan, dan ukuran vektor yang dihasilkan adalah nilai absolut dari bilangan tersebut.

Vektor yang berlawanan dengan setiap vektor v adalah - v = (- 1) v .

Vektor nol adalah sebuah titik dalam bidang R², dan angka nol dikalikan vektor menghasilkan vektor nol.

Semua yang telah dikatakan diilustrasikan pada Gambar 2.

Contoh 2

Himpunan P dari semua polinomial dengan derajat kurang dari atau sama dengan dua, termasuk derajat nol, membentuk himpunan yang memenuhi semua aksioma ruang vektor.

Misalkan polinomial P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Jumlah dari dua polinomial ditentukan: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Jumlah polinomial yang termasuk dalam himpunan P bersifat komutatif dan transitif.

Polinomial nol yang termasuk dalam himpunan P adalah polinomial yang semua koefisiennya sama dengan nol:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Jumlah skalar α dengan polinomial didefinisikan sebagai: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Polinomial kebalikan dari P (x) adalah -P (x) = (-1) P (x).

Dari semua penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa himpunan P dari semua polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan dua adalah ruang vektor.

Contoh 3

Himpunan M dari semua matriks m baris xn kolom yang elemennya adalah bilangan real membentuk ruang vektor nyata, sehubungan dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian bilangan dengan matriks.

Contoh 4

Himpunan F fungsi kontinu variabel nyata, membentuk ruang vektor, karena dimungkinkan untuk menentukan jumlah dua fungsi, perkalian skalar dengan fungsi, fungsi nol dan fungsi simetris. Mereka juga memenuhi aksioma yang menjadi ciri ruang vektor.

Basis dan dimensi ruang vektor

Mendasarkan

Basis ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan vektor bebas linier sedemikian rupa sehingga dari kombinasi liniernya, setiap vektor ruang vektor tersebut dapat dihasilkan.

Menggabungkan dua atau lebih vektor secara linier terdiri dari mengalikan vektor dengan beberapa skalar dan kemudian menjumlahkannya secara vektor.

Misalnya, dalam ruang vektor vektor dalam tiga dimensi yang dibentuk oleh R³, digunakan basis kanonik yang ditentukan oleh vektor satuan (dari besaran 1) i , j , k .

Dimana i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Ini adalah vektor Kartesius atau kanonik.

Setiap vektor V milik R³ ditulis sebagai V = a i + b j + c k , yang merupakan kombinasi linier dari vektor alas i , j , k . Sebuah skalar atau nomor a, b, c dikenal sebagai komponen Cartesian V .

Juga dikatakan bahwa vektor dasar dari suatu ruang vektor membentuk satu set generator dari ruang vektor.

Dimensi

Dimensi ruang vektor adalah bilangan pokok dari basis vektor untuk ruang itu; yaitu, jumlah vektor yang membentuk basis tersebut.

Kardinal ini adalah bilangan maksimum vektor bebas linier dari ruang vektor tersebut, dan sekaligus jumlah minimum vektor yang membentuk genset ruang tersebut.

Basis ruang vektor tidak unik, tetapi semua basis ruang vektor yang sama memiliki dimensi yang sama.

Subruang vektor

Sebuah subruang vektor S dari ruang vektor V adalah himpunan bagian dari V di mana operasi yang sama didefinisikan seperti pada V dan memenuhi semua aksioma ruang vektor. Oleh karena itu, subruang S juga akan menjadi ruang vektor.

Contoh subruang vektor adalah vektor yang dimiliki oleh bidang XY. Subruang ini adalah himpunan bagian dari ruang vektor berdimensi lebih besar dari himpunan vektor yang termasuk dalam ruang tiga dimensi XYZ.

Contoh lain dari subruang vektor S1 dari ruang vektor S yang dibentuk oleh semua matriks 2x2 dengan elemen nyata didefinisikan di bawah ini:

Di sisi lain, S2 yang didefinisikan di bawah ini, meskipun merupakan himpunan bagian dari S, tidak membentuk subruang vektor:

Latihan terselesaikan

-Latihan 1

Misalkan vektor V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) dan V3 = (0, 0, 3) di R³.

a) Tunjukkan bahwa mereka bebas linier.

b) Tunjukkan bahwa mereka membentuk basis di R³, karena rangkap tiga (x, y, z) dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari V1, V2, V3.

c) Tentukan komponen tripel V = (-3,5,4) di basis V1 , V2 , V3 .

Larutan

Kriteria untuk menunjukkan independensi linier terdiri dari penetapan himpunan persamaan berikut di α, β dan γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Jika satu-satunya solusi untuk sistem ini adalah α = β = γ = 0 maka vektor tidak bergantung linier, jika tidak maka tidak.

Untuk mendapatkan nilai α, β dan γ kami mengusulkan sistem persamaan berikut:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Yang pertama mengarah ke α = 0, yang kedua α = -2 ∙ β tetapi karena α = 0 maka β = 0. Persamaan ketiga menyiratkan bahwa γ = (- 1/3) β, tetapi karena β = 0 maka γ = 0.

Jawaban untuk

Disimpulkan bahwa ini adalah himpunan vektor bebas linier di R³.

Jawaban b

Sekarang mari kita tulis tripel (x, y, z) sebagai kombinasi linier dari V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Di mana Anda memiliki:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Yang pertama menunjukkan α = x, yang kedua β = (yx) / 2 dan yang ketiga γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Dengan cara ini kami telah menemukan generator dari α, β dan γ dari setiap triplet R³

Jawaban c

Mari kita lanjutkan untuk mencari komponen dari tripel V = (-3,5,4) di dasar V1 , V2 , V3 .

Kami mengganti nilai yang sesuai dalam ekspresi yang ditemukan di atas untuk generator.

Dalam hal ini kami memiliki: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Itu adalah:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Oleh terakhir:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Kami menyimpulkan bahwa V1, V2, V3 membentuk basis dalam ruang vektor R³ dimensi 3.

-Latihan 2

Nyatakan polinomial P (t) = t² + 4t -3 sebagai kombinasi linier dari P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t dan P3 (t) = t + 3.

Larutan

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

dimana bilangan x, y, z harus ditentukan.

Dengan mengalikan dan mengelompokkan suku-suku dengan derajat yang sama di t, kita memperoleh:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Yang membawa kita ke sistem persamaan berikut:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Solusi dari sistem persamaan ini adalah:

x = -3, y = 2, z = 4.

Itu adalah:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Latihan 3

Tunjukkan bahwa vektor v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) dan v3 = (2, 1, -1, 1) dari R⁴ bebas linear.

Larutan

Kami secara linier menggabungkan tiga vektor v1 , v2 , v3 dan menuntut bahwa kombinasi tersebut menambahkan elemen null dari R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Artinya,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Ini membawa kita ke sistem persamaan berikut:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Dengan mengurangi yang pertama dan keempat, kita memiliki: -a + c = 0 yang berarti a = c.

Tetapi jika kita melihat persamaan ketiga, kita mendapatkan bahwa a = -c. Satu-satunya cara a = c = (- c) bertahan adalah agar c menjadi 0 dan oleh karena itu a juga akan 0.

a = c = 0

Jika kita memasukkan hasil ini ke persamaan pertama maka kita menyimpulkan bahwa b = 0.

Akhirnya a = b = c = 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor v1, v2 dan v3 bebas linear.

Referensi

1. Lipschutz, S. 1993. Aljabar linier. Edisi kedua. McGraw-Hill. 167-198.