ENEAGON: PROPERTI, CARA MEMBUAT ENEAGON, CONTOH - MATEMATIKA

Sebuah enegon adalah poligon dengan sembilan sisi dan sembilan simpul, yang mungkin atau mungkin tidak biasa. Nama eneágono berasal dari bahasa Yunani dan terdiri dari kata Yunani ennea (sembilan) dan gonon (sudut).

Nama alternatif untuk poligon bersisi sembilan adalah nonagon, yang berasal dari kata Latin nonus (sembilan) dan gonon (puncak). Di sisi lain, jika sisi atau sudut eneagon tidak sama satu sama lain, maka Anda memiliki eneagon yang tidak beraturan. Sebaliknya, jika kesembilan sisi dan sembilan sudut eneagon sama, maka itu adalah eneagon biasa.

Gambar 1. Eneagon beraturan dan eneagon tidak beraturan. (Elaborasi sendiri)

Properti eneagon

Untuk poligon dengan n sisi, jumlah sudut interiornya adalah:

(n - 2) * 180º

Dalam enegon itu akan menjadi n = 9, jadi jumlah sudut internalnya adalah:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Dalam poligon mana pun, jumlah diagonal adalah:

D = n (n - 3) / 2 dan dalam kasus enegon, karena n = 9, kita memiliki D = 27.

Enegon biasa

Dalam eneagon atau nonagon biasa ada sembilan (9) sudut dalam dengan ukuran yang sama, oleh karena itu setiap sudut mengukur sepersembilan dari jumlah total sudut internal.

Ukuran sudut internal enegon adalah 1260º / 9 = 140º.

Gambar 2. Apotema, jari-jari, sisi, sudut, dan simpul dari eneagon beraturan. (Elaborasi sendiri)

Untuk mendapatkan rumus luas enegon beraturan dengan sisi d, akan lebih mudah untuk membuat beberapa konstruksi bantu, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.

Pusat O ditemukan dengan menelusuri garis-garis berat dari dua sisi yang berdekatan. Pusat O berjarak sama dari simpul.

Jari-jari dengan panjang r adalah ruas dari pusat O ke puncak enegon. Gambar 2 menunjukkan radius OD dan OE dengan panjang r.

Apotema adalah ruas yang bergerak dari pusat ke titik tengah salah satu sisi enegon. Misalnya OJ adalah apotema yang panjangnya a.

Luas suatu enegon diketahui sisi dan apotema

Kita menganggap segitiga ODE pada gambar 2. Luas segitiga ini adalah hasil kali alasnya DE dan tinggi OJ dibagi 2:

Luas ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Karena ada 9 segitiga dengan luas yang sama di enegon, disimpulkan bahwa luasnya adalah:

Luas Enegon = (9/2) (d * a)

Luas enegon yang diketahui di samping

Jika hanya d panjang sisi enegon yang diketahui, maka panjang apotema perlu dicari untuk menerapkan rumus di bagian sebelumnya.

Kami menganggap segitiga siku-siku OJE di J (lihat gambar 2). Jika rasio trigonometri tangen diterapkan, kita mendapatkan:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Sudut ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, karena EO adalah garis-bagi dari sudut dalam enegon.

Di sisi lain, OJ adalah apotema dengan panjang a.

Kemudian, karena J adalah titik tengah ED, maka EJ = d / 2.

Mengganti nilai sebelumnya dalam hubungan tangen yang kita miliki:

tan (70º) = a / (d / 2).

Sekarang kita menghapus panjang apotema:

a = (d / 2) tan (70º).

Hasil sebelumnya diganti dengan rumus luas untuk mendapatkan:

Luas enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Akhirnya, kita menemukan rumus yang memungkinkan memperoleh luas enegon beraturan jika hanya panjang sisi-sisinya yang diketahui:

Luas enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Keliling enegon biasa diketahui sisinya

Keliling poligon adalah jumlah sisi-sisinya. Dalam kasus enegon, karena setiap sisi mengukur panjang d, kelilingnya akan menjadi jumlah sembilan kali d, yaitu:

Keliling = 9 d

Keliling enegon diketahui radiusnya

Mempertimbangkan segitiga siku-siku OJE di J (lihat gambar 2), rasio kosinus trigonometri diterapkan:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Dari mana diperoleh dari:

d = 2r cos (70º)

Mengganti hasil ini, kita mendapatkan rumus keliling sebagai fungsi jari-jari enegon:

Keliling = 9 s = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Cara membuat enegon biasa

1- Untuk membuat eneagon beraturan, dengan penggaris dan kompas, mulailah dari keliling c yang membatasi eneagon. (lihat gambar 3)

2- Dua garis tegak lurus ditarik melalui pusat O dari keliling. Kemudian perpotongan A dan B dari salah satu garis tersebut ditandai dengan keliling.

3- Dengan kompas, yang berpusat pada titik potong B dan bukaan sama dengan jari-jari BO, sebuah busur ditarik yang memotong keliling awal pada titik C.

Gambar 3. Langkah-langkah membangun enegon biasa. (Elaborasi sendiri)

4- Langkah sebelumnya diulangi tetapi membuat pusat di A dan jari-jari AO, sebuah busur ditarik yang memotong keliling c di titik E.

5- Dengan bukaan AC dan pusat di A, busur keliling digambar. Demikian pula dengan pembukaan BE dan pusat B, busur lain digambar. Perpotongan kedua busur ini ditandai sebagai titik G.

6- Membuat pusat di G dan pembukaan GA, sebuah busur ditarik yang memotong sumbu sekunder (horizontal dalam hal ini) pada titik H. Perpotongan sumbu sekunder dengan keliling asli c ditandai sebagai I.

7- Panjang ruas IH sama dengan panjang d sisi enegon.

8- Dengan bukaan kompas IH = d, busur jari-jari pusat A AJ, jari-jari pusat J AK, jari-jari pusat K KL dan jari-jari pusat L LP digambar secara berurutan.

9- Demikian pula, dimulai dari A dan dari sisi kanan, busur jari-jari IH = d ditarik yang menandai titik M, N, C dan Q pada keliling asli c.

10- Akhirnya segmen AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ dan akhirnya PB ditarik.

Perlu dicatat bahwa metode konstruksi tidak sepenuhnya tepat, karena dapat dibuktikan bahwa PB sisi terakhir 0,7% lebih panjang dari sisi lainnya. Sampai saat ini, belum ada metode konstruksi yang diketahui dengan penggaris dan kompas yang 100% akurat.

Contoh

Berikut beberapa contoh yang berhasil.

Contoh 1

Kami ingin membuat enegon biasa yang sisinya berukuran 2 cm. Berapa jari-jari yang harus mempunyai keliling yang mengelilinginya, sehingga dengan menerapkan konstruksi yang dijelaskan sebelumnya diperoleh hasil yang diinginkan?

Di bagian sebelumnya, rumus yang menghubungkan jari-jari r lingkaran yang dibatasi dengan sisi d enegon beraturan telah disimpulkan:

d = 2r cos (70º)

Memecahkan r dari ekspresi sebelumnya yang kita miliki:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Mensubstitusikan nilai d = 2 cm pada rumus sebelumnya menghasilkan jari-jari r 2,92 cm.

Contoh 2

Berapakah luas enegon beraturan dengan sisi 2 cm?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita harus mengacu pada rumus yang telah ditunjukkan sebelumnya, yang memungkinkan kita untuk mencari luas enegon yang diketahui dengan panjang d sisinya: