DOMAIN DAN CONTRADOMAIN DARI SUATU FUNGSI (DENGAN CONTOH) - MATEMATIKA - 2025

Konsep domain dan counter-domain dari suatu fungsi biasanya diajarkan dalam mata kuliah kalkulus yang diajarkan pada awal gelar universitas.

Sebelum mendefinisikan domain dan contradomain, Anda harus mengetahui apa itu fungsi. Fungsi f adalah hukum (aturan) korespondensi yang dibuat antara elemen dua himpunan.

Himpunan dari mana elemen dipilih disebut domain fungsi, dan himpunan yang dikirim elemen ini melalui f disebut domain-lawan.

Dalam matematika, fungsi dengan domain A dan domain counter B dilambangkan dengan ekspresi f: A → B.

Ungkapan sebelumnya mengatakan bahwa elemen dari himpunan A dikirim ke himpunan B mengikuti hukum korespondensi f.

Sebuah fungsi memberikan setiap elemen dari himpunan A satu elemen dari himpunan B.

Domain dan contradomain

Diberikan fungsi nyata dari variabel nyata f (x), kita memiliki bahwa domain fungsinya adalah semua bilangan real sehingga, ketika dievaluasi dalam f, hasilnya adalah bilangan real.

Umumnya, counter-domain dari suatu fungsi adalah himpunan bilangan real R. Domain counter juga disebut set kedatangan atau codomain dari fungsi f.

Apakah contradomain suatu fungsi selalu R?

Tidak. Selama fungsinya tidak dipelajari secara rinci, himpunan bilangan real R biasanya diambil sebagai domain lawan.

Tapi setelah fungsi dipelajari, himpunan yang lebih cocok dapat diambil sebagai counter-domain, yang akan menjadi subset dari R.

Set yang tepat yang disebutkan di paragraf sebelumnya cocok dengan gambar fungsi.

Definisi gambar atau rentang fungsi f mengacu pada semua nilai yang berasal dari evaluasi elemen domain di f.

Contoh

Contoh berikut mengilustrasikan cara menghitung domain dari suatu fungsi dan citranya.

Contoh 1

Misalkan f adalah fungsi nyata yang didefinisikan oleh f (x) = 2.

Domain dari f adalah semua bilangan real sehingga jika dievaluasi pada f, hasilnya adalah bilangan real. Contadomain untuk saat ini sama dengan R.

Karena fungsi yang diberikan adalah konstan (selalu sama dengan 2), tidak masalah bilangan real mana yang dipilih, karena ketika mengevaluasinya di f hasilnya akan selalu sama dengan 2, yang merupakan bilangan real.

Oleh karena itu, domain dari fungsi yang diberikan adalah semua bilangan real; yaitu, A = R.

Sekarang diketahui bahwa hasil dari fungsinya selalu sama dengan 2, kita mendapatkan bahwa gambar fungsinya hanya angka 2, oleh karena itu domain lawan dari fungsi tersebut dapat didefinisikan ulang sebagai B = Img (f) = {dua}.

Oleh karena itu, f: R → {2}.

Contoh 2

Misalkan g adalah fungsi nyata yang ditentukan oleh g (x) = √x.

Selama bayangan g tidak diketahui, kontradomain dari g adalah B = R.

Dengan fungsi ini harus diperhitungkan bahwa akar kuadrat hanya ditentukan untuk bilangan non-negatif; yaitu, untuk bilangan yang lebih besar dari atau sama dengan nol. Misalnya, √-1 bukanlah bilangan real.

Oleh karena itu, domain dari fungsi g harus semua bilangan yang lebih besar dari atau sama dengan nol; yaitu, x ≥ 0.

Oleh karena itu, A = [0, + ∞).

Untuk menghitung rentang, perlu diperhatikan bahwa hasil g (x), karena merupakan akar kuadrat, akan selalu lebih besar dari atau sama dengan nol. Yaitu, B = [0, + ∞).

Kesimpulannya, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Contoh 3

Jika kita memiliki fungsi h (x) = 1 / (x-1), kita mengetahui bahwa fungsi ini tidak ditentukan untuk x = 1, karena penyebutnya akan mendapatkan nol dan pembagian dengan nol tidak ditentukan.

Di sisi lain, untuk nilai riil lainnya, hasilnya akan berupa bilangan real. Oleh karena itu, domain tersebut semuanya nyata kecuali satu; yaitu, A = R \ {1}.

Dengan cara yang sama, dapat diamati bahwa satu-satunya nilai yang tidak dapat diperoleh sebagai hasil adalah 0, karena agar pecahan sama dengan nol, pembilangnya harus nol.

Oleh karena itu, citra fungsinya adalah himpunan semua real kecuali nol, jadi B = R \ {0} diambil sebagai kontradomain.

Kesimpulannya, h: R \ {1} → R \ {0}.

Pengamatan

Domain dan gambar tidak harus memiliki kumpulan yang sama, seperti yang ditunjukkan pada Contoh 1 dan 3.

Ketika suatu fungsi digambarkan pada bidang Kartesius, domain diwakili oleh sumbu X dan counterdomain atau rentang diwakili oleh sumbu Y.

Referensi

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika precalculus: pendekatan pemecahan masalah (2, edisi ke-Illustrated). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Aljabar dan trigonometri dengan geometri analitik. Pendidikan Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (edisi ke-8). Pembelajaran Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometri Analitik Bidang. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (edisi ke-9). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Kalkulus Diferensial dengan fungsi transenden awal untuk Sains dan Teknik (edisi ke-Second Edition). Sisi miring.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Bagian: Analytical Conics (1907) (edisi ke-reprint). Sumber Petir.
10. Sullivan, M. (1997). Prekalkulasi. Pendidikan Pearson.