DIVISI SINTETIS: METODE DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The pembagian sintetik adalah cara sederhana membagi P polinomial (x) salah satu dari bentuk d (x) = x - c. Misalnya, polinomial P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) dapat direpresentasikan sebagai perkalian dari dua polinomial paling sederhana (x + 1) dan (x ⁴ + 2x ³ ).

Ini adalah alat yang sangat berguna karena, selain memungkinkan kita untuk membagi polinomial, ini juga memungkinkan kita untuk mengevaluasi polinomial P (x) pada bilangan c apa pun, yang pada gilirannya memberi tahu kita dengan tepat apakah bilangan tersebut adalah nol dari polinomial atau bukan.

Berkat algoritma pembagian, kita tahu bahwa jika kita memiliki dua polinomial tidak konstan P (x) dan d (x), ada polinomial unik q (x) dan r (x) sehingga benar bahwa P (x) = q (x) d (x) + r (x), di mana r (x) adalah nol atau kurang dari q (x). Polinomial ini masing-masing dikenal sebagai hasil bagi dan sisa atau sisa.

Pada saat polinomial d (x) berbentuk x- c, pembagian sintetik memberi kita cara singkat untuk menemukan siapa q (x) dan r (x).

Metode pembagian sintetis

Misalkan P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polinomial yang ingin kita bagi dan d (x) = xc pembagi. Untuk membagi dengan metode pembagian sintetik kita lanjutkan sebagai berikut:

1- Kami menulis koefisien P (x) di baris pertama. Jika ada pangkat X tidak muncul, kami menempatkan nol sebagai koefisiennya.

2- Di baris kedua, di sebelah kiri a _n kita tempatkan c, dan kita menggambar garis pembagian seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

3- Kami menurunkan koefisien terdepan ke baris ketiga.

Dalam ekspresi ini b _n-1 = a _n

4- Kita mengalikan c dengan koefisien utama b _n-1 dan kita menulis hasilnya di baris kedua, tetapi satu kolom di sebelah kanan.

5- Kami menambahkan kolom tempat kami menulis hasil sebelumnya dan kami menempatkan hasilnya di bawah jumlah itu; yaitu, di kolom yang sama, baris ketiga.

Saat menambahkan, kami memiliki hasil _n-1 + c * b _n-1 , yang untuk memudahkan kami akan memanggil b _n-2

6- Kita mengalikan c dengan hasil sebelumnya dan menulis hasilnya ke kanan di baris kedua.

7- Kita ulangi langkah 5 dan 6 sampai mencapai koefisien pada ₀ .

8- Kami menulis jawabannya; yaitu, hasil bagi dan sisanya. Karena kita membagi polinomial berderajat n dengan polinomial berderajat 1, kita mendapatkan bahwa hasil bagi adalah derajat n-1.

Koefisien dari hasil bagi polinomial akan menjadi angka pada baris ketiga kecuali yang terakhir, yang akan menjadi polinomial sisa atau sisa pembagian.

Latihan terselesaikan

- Contoh 1

Lakukan pembagian berikut dengan metode pembagian sintetis:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Larutan

Pertama kita tulis koefisien dari dividen sebagai berikut:

Kemudian kita menulis c di sisi kiri, di baris kedua, bersama dengan garis pemisah. Dalam contoh ini c = -1.

Kami menurunkan koefisien terdepan (dalam hal ini b _n-1 = 1) dan mengalikannya dengan -1:

Kami menulis hasilnya ke kanan di baris kedua, seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

Kami menambahkan angka di kolom kedua:

Kami mengalikan 2 dengan -1 dan menulis hasilnya di kolom ketiga, baris kedua:

Kami menambahkan di kolom ketiga:

Kami melanjutkan dengan cara yang sama sampai kami mencapai kolom terakhir:

Jadi, kita mendapatkan bahwa bilangan terakhir yang diperoleh adalah sisa pembagian, dan bilangan yang tersisa adalah koefisien dari hasil bagi polinomial. Ini ditulis sebagai berikut:

Jika kita ingin memverifikasi bahwa hasilnya benar, cukup dengan memverifikasi bahwa persamaan berikut ini benar:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Jadi kita bisa mengecek apakah hasil yang didapat sudah benar.

- Contoh 2

Lakukan pembagian polinomial berikut dengan metode pembagian sintetik

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Larutan

Dalam kasus ini kita mendapati bahwa suku x ² tidak muncul, jadi kita akan menuliskan 0 sebagai koefisiennya. Jadi, polinomialnya adalah 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Kami menulis koefisiennya berturut-turut, ini adalah:

Kami menulis nilai C = -2 di sisi kiri baris kedua dan menggambar garis pemisah.

Kita menurunkan koefisien terdepan b _n-1 = 7 dan mengalikannya dengan -2, menuliskan hasilnya di baris kedua ke kanan.

Kami menambah dan melanjutkan seperti yang dijelaskan sebelumnya, hingga kami mencapai istilah terakhir:

Dalam hal ini, sisanya adalah r (x) = - 52 dan hasil bagi yang diperoleh adalah q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Contoh 3

Cara lain untuk menggunakan pembagian sintetik adalah sebagai berikut: misalkan kita memiliki polinomial P (x) berderajat n dan kita ingin mengetahui nilainya dengan mengevaluasinya pada x = c.

Dengan algoritma pembagian kita dapat menuliskan polinomial P (x) dengan cara sebagai berikut:

Dalam ekspresi ini q (x) dan r (x) masing-masing adalah hasil bagi dan sisanya. Sekarang, jika d (x) = x- c, saat mengevaluasi pada c dalam polinomial kita mendapatkan yang berikut:

Oleh karena itu, yang tersisa hanya ar (x), dan kita dapat melakukannya berkat pembagian sintetik.

Misalnya, kita memiliki polinomial P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 dan kita ingin mengetahui nilainya dengan mengevaluasinya pada x = 5. Untuk melakukan ini kita melakukan pembagian antara P (x) dan d (x) = x -5 dengan metode pembagian sintetik:

Setelah operasi selesai, kita tahu bahwa kita dapat menulis P (x) dengan cara berikut:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Oleh karena itu, saat mengevaluasinya kita harus:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Seperti yang dapat kita lihat, dimungkinkan untuk menggunakan pembagian sintetik untuk mencari nilai polinomial dengan mengevaluasinya pada c daripada hanya mengganti c untuk x.

Jika kita mencoba mengevaluasi P (5) dengan cara tradisional, kita akan dipaksa untuk melakukan beberapa kalkulasi yang seringkali membosankan.

- Contoh 4

Algoritme pembagian untuk polinomial juga berlaku untuk polinomial dengan koefisien kompleks dan, sebagai konsekuensinya, metode pembagian sintetik juga berlaku untuk polinomial semacam itu. Kami akan melihat contoh di bawah ini.

Kita akan menggunakan metode pembagian sintetik untuk menunjukkan bahwa z = 1+ 2i adalah nol polinomial P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); artinya, sisa pembagian P (x) dengan d (x) = x - z sama dengan nol.

Kami melanjutkan seperti sebelumnya: di baris pertama kami menulis koefisien P (x), lalu di baris kedua kami menulis z dan menggambar garis pemisah.

Kami melakukan pembagian seperti sebelumnya; ini adalah:

Kita dapat mengamati bahwa sisanya adalah nol; oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa z = 1+ 2i adalah nol dari P (x).

Referensi

1. Baldor Aurelio. Aljabar Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Tunggu, Foley & Kennedy. Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic 7th Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Aljabar dan Trigonometri dengan Geometri Analitik. Aula Prentice
4. Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Pendidikan Pearson.
5. Merah. Armando O. Aljabar 1 Edisi ke-6. Athenaeum.