KETIMPANGAN SEGITIGA: BUKTI, CONTOH, LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

Ini disebut sifat segitiga tak sama yang memenuhi dua bilangan real yang nilai absolutnya selalu lebih kecil atau sama dengan penjumlahan nilai absolutnya. Properti ini juga dikenal sebagai pertidaksamaan Minkowski atau pertidaksamaan segitiga.

Sifat bilangan ini disebut pertidaksamaan segitiga karena dalam segitiga terjadi bahwa panjang salah satu sisinya selalu kurang dari atau sama dengan jumlah dua sisinya, padahal pertidaksamaan ini tidak selalu berlaku pada luas segitiga.

Gambar 1. Nilai absolut dari jumlah dua angka selalu kurang dari atau sama dengan jumlah nilai absolutnya. (Disiapkan oleh R. Pérez)

Ada beberapa bukti pertidaksamaan segitiga dalam bilangan real, tetapi dalam hal ini kita akan memilih salah satu berdasarkan sifat dari nilai absolut dan kuadrat binomial.

Teorema: Untuk setiap pasangan bilangan a dan b milik bilangan real kita memiliki:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstrasi

Kita mulai dengan mempertimbangkan anggota pertama dari ketidaksetaraan, yang akan dikuadratkan:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (Persamaan 1)

Pada langkah sebelumnya, kita menggunakan properti bahwa bilangan apa pun yang dikuadratkan sama dengan nilai absolut dari bilangan tersebut yang dikuadratkan, yaitu: -x- ^ 2 = x ^ 2. Ekspansi binomial persegi juga telah digunakan.

Setiap angka x kurang dari atau sama dengan nilai absolutnya. Jika angka positif itu sama, tetapi jika angka negatif akan selalu lebih kecil dari angka positif. Dalam hal ini nilai absolutnya sendiri, yaitu dapat dinyatakan bahwa x ≤ - x -.

Produk (ab) adalah angka, oleh karena itu berlaku bahwa (ab) ≤ - ab -. Ketika properti ini diterapkan ke (Persamaan 1) kita memiliki:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (Persamaan 2)

Memperhatikan bahwa - ab - = - a - b - la (Persamaan 2) dapat dituliskan sebagai berikut:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (Persamaan 3)

Tetapi karena kita telah mengatakan sebelumnya bahwa kuadrat sebuah angka sama dengan nilai absolut dari angka yang dikuadratkan, maka persamaan 3 dapat ditulis ulang sebagai berikut:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (Persamaan 4)

Di anggota kedua dari ketidaksetaraan, produk yang luar biasa dikenali, yang bila diterapkan mengarah ke:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (Persamaan 5)

Pada ekspresi sebelumnya perlu dicatat bahwa nilai yang akan dikuadratkan pada kedua anggota pertidaksamaan adalah positif, oleh karena itu harus dipuaskan juga bahwa:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Persamaan 6)

Ekspresi sebelumnya persis seperti yang ingin Anda tunjukkan.

Contoh

Selanjutnya kita akan memeriksa pertidaksamaan segitiga dengan beberapa contoh.

Contoh 1

Kami mengambil nilai a = 2 dan nilai b = 5, yaitu, keduanya bilangan positif dan kami memeriksa apakah pertidaksamaan itu memuaskan atau tidak.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Kesetaraan diverifikasi, oleh karena itu teorema pertidaksamaan segitiga telah terpenuhi.

Contoh 2

Nilai-nilai berikut a = 2 dan b = -5 dipilih, yaitu bilangan positif dan negatif lainnya, kami memeriksa apakah pertidaksamaan terpenuhi atau tidak.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Pertidaksamaan terpenuhi, oleh karena itu teorema pertidaksamaan segitiga telah diverifikasi.

Contoh 3

Kami mengambil nilai a = -2 dan nilai b = 5, yaitu angka negatif dan positif lainnya, kami memeriksa apakah pertidaksamaan tersebut terpenuhi atau tidak.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Ketimpangan diverifikasi, oleh karena itu teorema telah terpenuhi.

Contoh 4

Nilai-nilai berikut a = -2 dan b = -5 dipilih, yaitu, kedua bilangan negatif dan kami memeriksa apakah pertidaksamaan terpenuhi atau tidak.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Kesetaraan diverifikasi, oleh karena itu teorema ketidaksetaraan Minkowski telah terpenuhi.

Contoh 5

Kami mengambil nilai a = 0 dan nilai b = 5, yaitu angka nol dan positif lainnya, lalu kami memeriksa apakah pertidaksamaan itu puas atau tidak.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Kesetaraan terpenuhi, oleh karena itu teorema pertidaksamaan segitiga telah diverifikasi.

Contoh 6

Kami mengambil nilai a = 0 dan nilai b = -7, yaitu angka nol dan positif lainnya, lalu kami memeriksa apakah pertidaksamaan tersebut terpenuhi atau tidak.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Kesetaraan diverifikasi, oleh karena itu teorema pertidaksamaan segitiga telah terpenuhi.

Latihan terselesaikan

Dalam latihan berikut, gambarkan secara geometris pertidaksamaan segitiga atau pertidaksamaan Minkowski untuk bilangan a dan b.

Angka a akan direpresentasikan sebagai ruas pada sumbu X, asalnya O bertepatan dengan nol pada sumbu X dan ujung ruas lainnya (pada titik P) akan searah positif (ke kanan) dari sumbu X jika a > 0, tetapi jika a <0 akan mengarah ke arah negatif sumbu X, sebanyak unit yang ditunjukkan oleh nilai absolutnya.

Demikian pula, bilangan b akan direpresentasikan sebagai segmen yang asalnya ada di titik P. Ekstrem lainnya, yaitu, titik Q akan berada di sebelah kanan P jika b positif (b> 0) dan titik Q akan menjadi -b - satuan di sebelah kiri P jika b <0.

Latihan 1

Gambarkan pertidaksamaan segitiga untuk a = 5 dan b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Latihan 2

Gambarkan pertidaksamaan segitiga untuk a = 5 dan b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Latihan 3

Tunjukkan secara grafis pertidaksamaan segitiga untuk a = -5 dan b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Latihan 4

Buat grafik pertidaksamaan segitiga untuk a = -5 dan b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, di mana c = a + b.

Referensi

1. E. Whitesitt. (1980) Aljabar Boolean dan Aplikasinya. Perusahaan Editorial Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elemen Analisis Abstrak. . Jurusan matematika. Perguruan tinggi Universitas Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematika dan Teknik dalam Ilmu Komputer. Institut Ilmu dan Teknologi Komputer. Biro Standar Nasional. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematika untuk Ilmu Komputer. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Kalkulus. Departemen Matematika dan Laboratorium Ilmu Komputer dan AI, Institut Teknologi Massachussetts.
6. Khan Academy. Teorema Pertidaksamaan Segitiga. Diperoleh dari: khanacademy.org
7. Wikipedia. Pertidaksamaan segitiga. Diperoleh dari: es. wikipedia.com