The dekomposisi aditif dari bilangan bulat positif terdiri dari mengungkapkan sebagai jumlah dari dua atau lebih bilangan bulat positif. Jadi, kita mendapatkan bahwa angka 5 dapat diekspresikan sebagai 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 atau 5 = 1 + 2 + 2. Masing-masing cara penulisan angka 5 inilah yang kita sebut dekomposisi aditif.

Jika kita perhatikan, kita dapat melihat bahwa ekspresi 5 = 2 + 3 dan 5 = 3 + 2 mewakili komposisi yang sama; keduanya memiliki nomor yang sama. Namun, hanya untuk kemudahan, setiap tambahan biasanya ditulis mengikuti kriteria dari yang terendah hingga tertinggi.

Dekomposisi aditif

Sebagai contoh lain kita dapat mengambil angka 27, yang dapat kita nyatakan sebagai:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Dekomposisi aditif adalah alat yang sangat berguna yang memungkinkan kita memperkuat pengetahuan kita tentang sistem penomoran.

Dekomposisi aditif kanonis

Ketika kita memiliki bilangan dengan lebih dari dua digit, cara tertentu untuk menguraikannya adalah dalam kelipatan 10, 100, 1000, 10.000, dll., Yang membentuknya. Cara penulisan bilangan ini disebut dekomposisi aditif kanonik. Misalnya, angka 1456 dapat diuraikan sebagai berikut:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Jika kita memiliki nomor 20 846295, dekomposisi aditif kanonisnya akan menjadi:

20.846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Berkat dekomposisi ini, kita dapat melihat bahwa nilai digit diberikan oleh posisi yang ditempati. Mari kita ambil angka 24 dan 42 sebagai contoh:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Di sini kita dapat melihat bahwa dalam 24 2 memiliki nilai 20 unit dan 4 nilai 4 unit; di sisi lain, dalam 42 4 memiliki nilai 40 unit dan 2 dari dua unit. Jadi, meskipun kedua angka menggunakan angka yang sama, nilainya sangat berbeda karena posisi yang mereka tempati.

Aplikasi

Salah satu aplikasi yang dapat kita berikan untuk dekomposisi aditif adalah dalam jenis bukti tertentu, di mana sangat berguna untuk melihat bilangan bulat positif sebagai jumlah dari yang lain.

Contoh teorema

Mari kita ambil contoh teorema berikut dengan buktinya masing-masing.

- Misalkan Z adalah bilangan bulat 4 digit, maka Z habis dibagi 5 jika angka yang sesuai dengan unit adalah nol atau lima.

Demonstrasi

Mari kita ingat apa itu perpecahan. Jika kita memiliki bilangan bulat "a" dan "b", kita mengatakan bahwa "a" membagi "b" jika terdapat bilangan bulat "c" sehingga b = a * c.

Salah satu sifat dapat dibagi memberitahu kita bahwa jika "a" dan "b" habis dibagi "c", maka pengurangan "ab" juga habis dibagi.

Misalkan Z adalah bilangan bulat 4 digit; oleh karena itu, kita dapat menuliskan Z sebagai Z = ABCD.

Menggunakan dekomposisi aditif kanonik kami memiliki:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Jelas bahwa A * 1000 + B * 100 + C * 10 habis dibagi 5. Untuk ini kita mengetahui bahwa Z habis dibagi 5 jika Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) habis dibagi 5.

Tapi Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D dan D adalah bilangan digit tunggal, jadi satu-satunya cara agar bilangan itu habis dibagi 5 adalah dengan 0 atau 5.

Oleh karena itu, Z habis dibagi 5 jika D = 0 atau D = 5.

Perhatikan bahwa jika Z memiliki n digit buktinya persis sama, hanya berubah bahwa sekarang kita akan menulis Z = A ₁ A ₂ … A _n dan tujuannya adalah untuk membuktikan bahwa A _n adalah nol atau lima.

Partisi

Kami mengatakan bahwa partisi dari bilangan bulat positif adalah salah satu cara kita dapat menulis angka sebagai jumlah dari bilangan bulat positif.

Perbedaan antara dekomposisi aditif dan partisi adalah bahwa, sementara yang pertama berusaha agar setidaknya dapat diuraikan menjadi dua tambahan atau lebih, partisi tersebut tidak memiliki batasan ini.

Jadi, kami memiliki yang berikut:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Di atas adalah partisi dari 5.

Artinya, kita mengetahui bahwa setiap dekomposisi aditif adalah partisi, tetapi tidak setiap partisi merupakan dekomposisi aditif.

Dalam teori bilangan, teorema dasar aritmatika menjamin bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis secara unik sebagai hasil perkalian bilangan prima.

Saat mempelajari partisi, tujuannya adalah untuk menentukan berapa banyak cara bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai jumlah dari bilangan bulat lainnya. Oleh karena itu, kami mendefinisikan fungsi partisi seperti yang disajikan di bawah ini.

Definisi

Fungsi partisi p (n) didefinisikan sebagai jumlah cara bilangan bulat positif n dapat ditulis sebagai jumlah dari bilangan bulat positif.

Kembali ke contoh 5, kita mendapatkan bahwa:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Jadi, p (5) = 7.

Grafik

Partisi dan dekomposisi aditif dari bilangan n dapat direpresentasikan secara geometris. Misalkan kita memiliki dekomposisi aditif n. Dalam penguraian ini, penjumlahan dapat diatur sehingga anggota jumlah diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Jadi, oke:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r dengan

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r .

Kita dapat membuat grafik dekomposisi ini dengan cara berikut: di baris pertama kita menandai _1- titik, kemudian di baris berikutnya kita menandai _2- titik, dan seterusnya sampai kita mencapai _r .

Ambil contoh angka 23 dan dekomposisi berikut ini:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Kami memesan dekomposisi ini dan kami memiliki:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Grafik yang sesuai adalah: