TURUNAN BERURUTAN (DENGAN LATIHAN DISELESAIKAN) - MATEMATIKA - 2025

The derivatif berturut-turut adalah mereka yang berasal dari satu fungsi setelah turunan kedua. Proses untuk menghitung turunan berurutan adalah sebagai berikut: kita memiliki fungsi f, yang bisa kita turunkan dan dengan demikian mendapatkan fungsi turunan f '. Kita bisa menurunkan turunan dari f ini lagi, memperoleh (f ')'.

Fungsi baru ini disebut turunan kedua; semua turunan yang dihitung dari detik berurutan; Ini, juga disebut orde lebih tinggi, memiliki aplikasi hebat, seperti memberikan informasi tentang plot grafik suatu fungsi, pengujian turunan kedua untuk relatif ekstrim dan penentuan deret tak hingga.

Definisi

Menggunakan notasi Leibniz, kita mendapatkan bahwa turunan dari sebuah fungsi "y" terhadap "x" adalah dy / dx. Untuk mengekspresikan turunan kedua dari "y" menggunakan notasi Leibniz, kita menulis sebagai berikut:

Secara umum, kita dapat mengekspresikan turunan berurutan sebagai berikut dengan notasi Leibniz, di mana n mewakili urutan turunannya.

Notasi lain yang digunakan adalah sebagai berikut:

Beberapa contoh di mana kita dapat melihat notasi yang berbeda adalah:

Contoh 1

Dapatkan semua turunan dari fungsi f yang ditentukan oleh:

Dengan menggunakan teknik penurunan biasa, kita mendapatkan bahwa turunan dari f adalah:

Dengan mengulang proses tersebut kita bisa mendapatkan turunan kedua, turunan ketiga, dan seterusnya.

Perhatikan bahwa turunan keempat adalah nol dan turunan dari nol adalah nol, jadi kita punya:

Contoh 2

Hitung turunan keempat dari fungsi berikut:

Menurunkan fungsi yang kita miliki sebagai hasil:

Kecepatan dan akselerasi

Salah satu motivasi yang menyebabkan ditemukannya turunan adalah pencarian definisi kecepatan sesaat. Definisi formal adalah sebagai berikut:

Misalkan y = f (t) adalah fungsi yang grafiknya menggambarkan lintasan suatu partikel pada waktu t, maka kecepatannya pada waktu t diberikan oleh:

Setelah kecepatan sebuah partikel diperoleh, kita dapat menghitung percepatan sesaat, yang didefinisikan sebagai berikut:

Percepatan sesaat dari partikel yang jalurnya diberikan oleh y = f (t) adalah:

Contoh 1

Sebuah partikel bergerak di sepanjang garis sesuai dengan fungsi posisi:

Dimana "y" diukur dalam meter dan "t" dalam detik.

- Pada saat berapa kecepatannya 0?

- Kapan akselerasinya 0?

Ketika menurunkan fungsi posisi «dan» kita mendapatkan bahwa kecepatan dan percepatannya diberikan masing-masing oleh:

Untuk menjawab pertanyaan pertama, cukup menentukan kapan fungsi v menjadi nol; ini adalah:

Kami melanjutkan dengan pertanyaan berikut dengan cara yang analog:

Contoh 2

Sebuah partikel bergerak sepanjang garis sesuai dengan persamaan gerak berikut:

Tentukan "t, y" dan "v" jika a = 0.

Mengetahui bahwa kecepatan dan percepatan diberikan oleh

Kami melanjutkan untuk mendapatkan dan memperoleh:

Membuat a = 0, kita punya:

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa nilai t untuk a sama dengan nol adalah t = 1.

Kemudian, mengevaluasi fungsi posisi dan fungsi kecepatan pada t = 1, kita mendapatkan:

Aplikasi

Derivasi eksplisit

Derivatif berurutan juga bisa diperoleh dengan derivasi implisit.

Contoh

Diketahui elips berikut, temukan "y":

Turun secara implisit sehubungan dengan x, kami memiliki:

Kemudian secara implisit menurunkan kembali sehubungan dengan x memberi kita:

Akhirnya, kami memiliki:

Relatif ekstrim

Kegunaan lain yang bisa kita berikan pada turunan orde kedua adalah dalam kalkulasi ekstrem relatif suatu fungsi.

Kriteria turunan pertama untuk ekstrem lokal memberi tahu kita bahwa, jika kita memiliki fungsi kontinu f pada interval (a, b) dan ada c yang termasuk dalam interval tersebut sehingga f 'lenyap di c (yaitu, c adalah titik kritis), salah satu dari tiga kasus dapat terjadi:

- Jika f´ (x)> 0 untuk setiap x milik (a, c) dan f´ (x) <0 untuk x milik (c, b), maka f (c) adalah maksimum lokal.

- Jika f´ (x) <0 untuk setiap x milik (a, c) dan f´ (x)> 0 untuk x milik (c, b), maka f (c) adalah minimum lokal.

- Jika f´ (x) memiliki tanda yang sama di (a, c) dan di (c, b), berarti f (c) bukan ekstrem lokal.

Dengan menggunakan kriteria dari turunan kedua kita dapat mengetahui apakah bilangan kritis suatu fungsi adalah maksimum atau minimum lokal, tanpa harus melihat tanda dari fungsi tersebut pada interval yang disebutkan di atas.

Kriteria penyimpangan kedua memberi tahu kita bahwa jika f´ (c) = 0 dan f´´ (x) kontinu dalam (a, b), terjadi jika f´´ (c)> 0 lalu f (c) adalah minimum lokal dan jika f´´ (c) <0 maka f (c) adalah maksimum lokal.

Jika f´´ (c) = 0, kita tidak dapat menyimpulkan apapun.

Contoh

Diketahui fungsi f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , cari nilai maksimum dan minimum relatif dari f menggunakan kriteria dari turunan keduanya.

Pertama kita menghitung f´ (x) dan f´´ (x) dan kita memiliki:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Sekarang, f´ (x) = 0 jika, dan hanya jika 4x (x + 2) (x - 1) = 0, dan ini terjadi ketika x = 0, x = 1 atau x = - 2.

Untuk menentukan apakah bilangan kritis yang diperoleh relatif ekstrem, cukup dengan mengevaluasi pada f´´ dan kemudian mengamati tandanya.

f´´ (0) = - 8, jadi f (0) adalah maksimum lokal.

f´´ (1) = 12, jadi f (1) adalah minimum lokal.

f´´ (- 2) = 24, jadi f (- 2) adalah minimum lokal.

Seri Taylor

Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

Fungsi ini memiliki radius konvergensi R> 0 dan memiliki turunan dari semua orde dalam (-R, R). Turunan berurutan dari f memberi kita:

Mengambil x = 0, kita dapat memperoleh nilai dari c _n sebagai fungsi dari turunannya sebagai berikut:

Jika kita mengambil = 0 sebagai fungsi f (yaitu, f ^ 0 = f), maka kita dapat menulis ulang fungsi tersebut sebagai berikut:

Sekarang mari kita pertimbangkan fungsinya sebagai rangkaian pangkat pada x = a:

Jika kita melakukan analisis yang serupa dengan yang sebelumnya, kita akan mendapatkan bahwa kita dapat menulis fungsi f sebagai:

Seri ini dikenal sebagai deret Taylor dari f hingga a. Ketika a = 0 kita memiliki kasus khusus yang disebut seri Maclaurin. Jenis deret ini sangat penting secara matematis terutama dalam analisis numerik, karena berkat ini kita dapat mendefinisikan fungsi dalam komputer seperti e ^x , sin (x), dan cos (x).

Contoh

Dapatkan seri Maclaurin untuk e ^x .

Perhatikan bahwa jika f (x) = e ^x , maka f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x dan f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, maka deret Maclaurinnya adalah:

Referensi

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Perhitungan 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Perhitungan dengan geometri analitik. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Perhitungan. Meksiko: Pendidikan Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Kalkulus diferensial. Sisi miring.
5. Saenz, J. (nd). Kalkulus integral. Sisi miring.