- Bagaimana derivatif implisit dipecahkan?
- Aturan rantai
- Perintah operasional
- Implisit
- Sejarah
- Aplikasi
- Latihan terselesaikan
- Latihan 1
- Latihan 2
- Referensi
The derivatif implisit adalah alat yang digunakan dalam teknik differencing diterapkan untuk fungsi. Mereka diterapkan ketika tidak mungkin, dengan metode biasa, untuk menyelesaikan variabel dependen yang akan diturunkan. Izin ini dilakukan berdasarkan variabel independen.
Misalnya, dalam ekspresi 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy, Anda tidak bisa mendapatkan ekspresi yang mendefinisikan "y" sebagai fungsi dari "x". Sehingga dengan menurunkan ekspresi diferensial dy / dx dapat diperoleh.
Bagaimana derivatif implisit dipecahkan?
Untuk menyelesaikan turunan implisit, kita mulai dengan ekspresi implisit. Contoh: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. Hal ini telah diselesaikan dengan benar, namun hal tersebut bukanlah syarat yang diperlukan untuk mendapatkan turunan dari y terhadap x. Kemudian, setiap elemen diturunkan dengan menghormati aturan rantai untuk fungsi campuran:
3xy 3 terdiri dari 2 variabel, oleh karena itu d (3xy 3 ) akan diperlakukan sebagai turunan dari produk fungsi.
d (3XY 3 ) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Dimana elemen y 'dikenal sebagai “y prime” dan mewakili dy / dx
-2y Ini diturunkan menurut hukum KU = K.U '
d (-2y) = -2 y '
xy 2 mengandaikan diferensial lain yang disusun oleh produk fungsi
d (xy 2 ) = y 2 + 2xy y '
-xy diperlakukan secara homolog
d (-xy) = -y - x y '
Mereka diganti dalam persamaan, mengetahui bahwa turunan nol adalah nol.
3thn 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
Unsur-unsur yang memiliki suku y 'dikelompokkan di satu sisi persamaan
3y 3 + y 2 - y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
Faktor persekutuan y 'diekstraksi dari sisi kanan persamaan
3y 3 + y 2 - y = y '(-9xy 2 + x + 2)
Akhirnya suku yang mengalikan y 'dihapus. Dengan demikian mendapatkan ekspresi yang sesuai dengan turunan implisit dari y terhadap x.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Aturan rantai
Dalam derivasi implisit, aturan rantai selalu dipatuhi. Semua ekspresi diferensial akan diberikan sebagai fungsi dari variabel bebas X. Jadi setiap variabel θ selain X, harus menyertakan suku dθ / dx setelah diturunkan.
Suku ini hanya akan muncul dalam derajat pertama atau dengan eksponen sama dengan 1. Kualitas ini membuatnya sangat jelas dalam metode anjak piutang tradisional. Jadi, dimungkinkan untuk mendapatkan ekspresi yang mendefinisikan diferensial dθ / dx.
Aturan rantai menunjukkan sifat progresif dari proses diferensiasi atau turunan. Dimana untuk setiap fungsi gabungan f, kita mendapatkan bahwa ekspresi diferensial dari f adalah
Perintah operasional
Dalam setiap rumus atau hukum penurunan yang diterapkan, urutan variabel harus diperhitungkan. Kriteria yang terkait dengan variabel independen dihormati, tanpa mengubah korelasinya dengan variabel dependen.
Hubungan variabel dependen pada saat penurunan diambil secara langsung; Dengan pengecualian bahwa ini akan dianggap sebagai fungsi kedua, itulah sebabnya kriteria aturan rantai untuk fungsi campuran diterapkan.
Ini dapat dikembangkan dalam ekspresi dengan lebih dari 2 variabel. Dengan prinsip yang sama, semua perbedaan yang mengacu pada variabel dependen akan dilambangkan.
Secara grafis, kriteria yang sama yang mendefinisikan turunan ditangani. Sementara turunannya adalah kemiringan garis singgung kurva pada bidang, perbedaan lainnya yang termasuk dalam variabel dependen (dy / dx, dz / dx) mewakili bidang yang bersinggungan dengan badan vektor yang dijelaskan oleh beberapa fungsi variabel.
Implisit
Suatu fungsi dikatakan terdefinisi secara implisit jika ekspresi y = f (x) dapat direpresentasikan sebagai fungsi variabel berganda F (x, y) = 0 selama F didefinisikan dalam bidang R 2 .
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy dapat ditulis dalam bentuk 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
Mengingat ketidakmungkinan membuat fungsi y = f (x) eksplisit.
Sejarah
Kalkulus diferensial mulai dinamai oleh berbagai peneliti matematika sekitar abad ketujuh belas. Pertama kali disebutkan adalah melalui kontribusi Newton dan Leibniz. Keduanya memperlakukan kalkulus diferensial dari sudut pandang yang berbeda, tetapi menyatu dalam hasil mereka.
Sementara Newton berfokus pada diferensiasi sebagai kecepatan atau laju perubahan, pendekatan Leibniz lebih geometris. Dapat dikatakan bahwa Newton menyerang dugaan yang ditinggalkan oleh Apollonius dari Perge dan Leibniz tentang gagasan geometris Fermat.
Derivasi implisit muncul segera ketika mempertimbangkan persamaan diferensial dan integral. Konsep geometris Leibniz ini diperluas ke R 3 dan bahkan ke ruang multidimensi.
Aplikasi
Derivatif implisit digunakan dalam berbagai situasi. Mereka biasa terjadi dalam masalah nilai tukar antara variabel terkait, di mana, tergantung pada pengertian penelitian, variabel akan dianggap dependen atau independen.
Mereka juga memiliki aplikasi geometris yang menarik, seperti dalam masalah refleksi atau bayangan, pada gambar yang bentuknya dapat dimodelkan secara matematis.
Mereka sering digunakan di bidang ekonomi dan teknik, serta dalam berbagai penyelidikan fenomena alam dan bangunan eksperimental.
Latihan terselesaikan
Latihan 1
Tentukan ekspresi implisit yang mendefinisikan dy / dx
Setiap elemen ekspresi dibedakan
Menetapkan aturan rantai di setiap kasus yang kompeten
Mengelompokkan pada satu sisi persamaan unsur-unsur yang memiliki dy / dx
Itu difaktorkan menggunakan faktor persekutuan
Itu diselesaikan dengan ekspresi yang dicari
Latihan 2
Tentukan ekspresi implisit yang mendefinisikan dy / dx
Mengekspresikan turunan yang akan dilakukan
Turun secara implisit menurut aturan rantai
Memfaktorkan elemen umum
Mengelompokkan suku dy / dx di satu sisi persamaan
Faktor umum untuk elemen diferensial
Kami mengisolasi dan mendapatkan ekspresi yang dicari
Referensi
- Kalkulus Variabel Tunggal. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 November 2008
- Teorema Fungsi Implisit: Sejarah, Teori, dan Aplikasi. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9 November. 2012
- Analisis Multivariabel. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Desember. 2010
- Sistem Dinamika: Pemodelan, Simulasi, dan Pengendalian Sistem Mekatronika. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Maret 2012
- Kalkulus: Matematika dan Pemodelan. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Januari 1999