TURUNAN ALJABAR (DENGAN CONTOH) - MATEMATIKA - 2025

The derivatif aljabar terdiri dari studi turunan dalam kasus fungsi aljabar. Asal mula gagasan turunan berasal dari Yunani Kuno. Perkembangan gagasan ini dilatarbelakangi oleh kebutuhan untuk memecahkan dua masalah penting, satu dalam fisika dan yang lainnya dalam matematika.

Dalam fisika, turunan memecahkan masalah penentuan kecepatan sesaat benda bergerak. Dalam matematika, ini memungkinkan Anda menemukan garis singgung ke kurva pada titik tertentu.

Meskipun sebenarnya ada lebih banyak masalah yang diselesaikan dengan menggunakan turunan, serta generalisasinya, hasil yang muncul setelah pengenalan konsepnya.

Pelopor kalkulus diferensial adalah Newton dan Leibniz. Sebelum memberikan definisi formal, kita akan mengembangkan ide di baliknya, dari sudut pandang matematika dan fisik.

Turunan sebagai kemiringan garis singgung kurva

Misalkan grafik fungsi y = f (x) adalah grafik kontinu (tanpa puncak atau simpul atau celah), dan misalkan A = (a, f (a)) menjadi titik tetap di atasnya. Kami ingin mencari persamaan garis yang bersinggungan dengan grafik fungsi f di titik A.

Mari kita ambil titik lain P = (x, f (x)) pada grafik, dekat dengan titik A, dan gambar garis garis potong yang melewati A dan P. Garis garis potong adalah garis yang memotong grafik kurva satu per satu atau lebih banyak poin.

Untuk mendapatkan garis singgung yang kita inginkan, kita hanya perlu menghitung kemiringannya karena kita sudah memiliki titik pada garis tersebut: titik A.

Jika kita memindahkan titik P di sepanjang grafik dan semakin mendekati titik A, garis garis potong yang telah disebutkan sebelumnya akan mendekati garis tangen yang ingin kita cari. Mengambil batas ketika "P cenderung ke A", kedua garis akan bertepatan, oleh karena itu kemiringannya juga.

Kemiringan garis garis potong diberikan oleh

Mengatakan bahwa P mendekati A sama dengan mengatakan bahwa "x" mendekati "a". Dengan demikian, kemiringan garis singgung grafik f di titik A akan sama dengan:

Ekspresi di atas dilambangkan dengan f '(a), dan didefinisikan sebagai turunan dari fungsi f pada titik "a". Oleh karena itu kita melihat bahwa secara analitis, turunan dari suatu fungsi pada suatu titik adalah batas, tetapi secara geometris, itu adalah kemiringan garis yang bersinggungan dengan grafik fungsi pada titik tersebut.

Sekarang kita akan melihat gagasan ini dari sudut pandang fisika. Kita akan sampai pada ekspresi yang sama dari batas sebelumnya, meskipun melalui jalur yang berbeda, sehingga mendapatkan definisi yang bulat.

Turunannya sebagai kecepatan sesaat benda bergerak

Mari kita lihat contoh singkat tentang arti kecepatan sesaat. Ketika dikatakan misalnya, mobil untuk mencapai suatu tujuan melakukannya dengan kecepatan 100 km perjam, artinya dalam satu jam ia menempuh jarak 100 km.

Ini tidak berarti bahwa selama satu jam penuh mobil selalu 100 km, speedometer mobil dalam beberapa saat bisa menandai kurang atau lebih. Jika Anda harus berhenti di lampu lalu lintas, kecepatan Anda saat itu adalah 0 km. Namun, setelah satu jam, perjalanan menjadi 100 km.

Inilah yang disebut kecepatan rata-rata dan diberikan oleh hasil bagi jarak yang ditempuh dan waktu yang telah berlalu, seperti yang baru saja kita lihat. Sebaliknya, kecepatan sesaat adalah kecepatan yang menandai jarum speedometer mobil pada saat (waktu) tertentu.

Mari kita lihat ini sekarang secara lebih umum. Misalkan sebuah benda bergerak sepanjang garis dan perpindahan ini diwakili oleh persamaan s = f (t), di mana variabel t mengukur waktu dan variabel s perpindahan, dengan memperhitungkan permulaannya pada instan t = 0, pada saat itu juga nol, yaitu, f (0) = 0.

Fungsi f (t) ini dikenal sebagai fungsi posisi.

Ekspresi dicari untuk kecepatan sesaat objek pada momen "a" yang tetap. Pada kecepatan ini kita akan menandainya dengan V (a).

Misalkan saja ada yang mendekati instan "a". Dalam selang waktu antara “a” dan “t”, perubahan posisi objek diberikan oleh f (t) -f (a).

Kecepatan rata-rata dalam interval waktu ini adalah:

Yang merupakan perkiraan kecepatan sesaat V (a). Perkiraan ini akan lebih baik jika t mendekati "a". Jadi,

Perhatikan bahwa ekspresi ini sama dengan yang diperoleh pada kasus sebelumnya, tetapi dari perspektif yang berbeda. Inilah yang dikenal sebagai turunan dari fungsi f pada titik "a" dan dilambangkan dengan f '(a), seperti disebutkan di atas.

Perhatikan bahwa membuat perubahan h = xa, kita mendapati bahwa ketika "x" cenderung ke "a", "h" cenderung ke 0, dan batas sebelumnya diubah (ekuivalen) menjadi:

Kedua ekspresi tersebut setara tetapi terkadang lebih baik menggunakan salah satu daripada yang lain, tergantung pada kasusnya.

Turunan dari fungsi f pada setiap titik "x" yang termasuk dalam domainnya kemudian didefinisikan dengan cara yang lebih umum sebagai

Notasi yang paling umum untuk mewakili turunan dari fungsi y = f (x) adalah yang baru saja kita lihat (f 'atau y'). Namun, notasi lain yang banyak digunakan adalah notasi Leibniz yang direpresentasikan sebagai salah satu ekspresi berikut:

Karena turunan pada dasarnya adalah batas, mungkin ada atau mungkin tidak ada, karena batasan tidak selalu ada. Jika ada, fungsi yang dimaksud dikatakan dapat terdiferensiasi pada titik tertentu.

Fungsi aljabar

Fungsi aljabar adalah kombinasi dari polinomial dengan cara penjumlahan, pengurangan, hasil kali, kuosien, pangkat, dan akar.

Polinomial adalah ekspresi bentuk

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Di mana n adalah bilangan asli dan semua a _i , dengan i = 0,1, …, n, adalah bilangan rasional dan _n ≠ 0. Dalam hal ini derajat polinomial tersebut adalah n.

Berikut ini adalah contoh fungsi aljabar:

Fungsi eksponensial, logaritmik, dan trigonometri tidak disertakan di sini. Aturan penurunan yang akan kita lihat selanjutnya berlaku untuk fungsi secara umum, tetapi kita akan membatasi diri kita sendiri dan menerapkannya dalam kasus fungsi aljabar.

Lewati aturan

Turunan dari sebuah konstanta

Menyatakan bahwa turunan konstanta adalah nol. Artinya, jika f (x) = c, maka f '(x) = 0. Misalnya, turunan dari fungsi konstanta 2 sama dengan 0.

Turunan dari suatu kekuatan

Jika f (x) = x ⁿ , maka f '(x) = nx ^n-1 . Misalnya, turunan dari x ³ adalah 3x ² . Sebagai konsekuensi dari ini, kita mendapatkan bahwa turunan dari fungsi identitas f (x) = x adalah f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Contoh lainnya adalah sebagai berikut: misalkan f (x) = 1 / x ² , lalu f (x) = x ^-2 dan f '(x) = - 2x ^-2-1 = ^{-2x -3} .

Properti ini juga merupakan akar yang valid, karena akar adalah pangkat rasional dan dalam kasus di atas juga dapat diterapkan. Misalnya, turunan dari akar kuadrat diberikan oleh

Turunan dari penjumlahan dan pengurangan

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat terdiferensiasi dalam x, maka jumlah f + g juga dapat terdiferensiasi dan dapat dipastikan bahwa (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Demikian pula, kita memiliki (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Dengan kata lain, turunan dari penjumlahan (pengurangan), adalah penjumlahan (atau pengurangan) dari turunannya.

Contoh

Jika h (x) = x ² + x-1, maka

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Berasal dari suatu produk

Jika f dan g adalah fungsi yang dapat didiferensiasi dalam x, maka hasil kali fg juga dapat terdiferensiasi di x dan itu benar

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Akibatnya, jika c adalah konstanta dan f adalah fungsi yang dapat terdiferensiasi dalam x, maka cf juga dapat terdiferensiasi dalam x dan (cf) '(x) = cf' (X).

Contoh

Jika f (x) = 3x (x ² +1), maka

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Turunan dari hasil bagi

Jika f dan g dapat terdiferensiasi di x dan g (x) ≠ 0, maka f / g juga dapat terdiferensiasi di x, dan memang benar bahwa

Contoh: jika h (x) = x ³ / (x ² -5x), maka

t '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Aturan rantai

Aturan ini memungkinkan untuk mendapatkan komposisi fungsi. Nyatakan sebagai berikut: jika y = f (u) dapat terdiferensiasi di u, yu = g (x) dapat didiferensiasi di x, maka fungsi komposit f (g (x)) dapat terdiferensiasi di x, dan memang benar bahwa '= f '(g (x)) g' (x).

Artinya, turunan fungsi komposit merupakan produk turunan fungsi eksternal (turunan eksternal) dan turunan fungsi internal (turunan internal).

Contoh

Jika f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , maka

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Ada juga hasil untuk menghitung turunan dari kebalikan suatu fungsi, serta generalisasi ke turunan orde tinggi. Aplikasinya sangat luas. Diantaranya, kegunaannya dalam masalah pengoptimalan dan fungsi maksimum dan minimum menonjol.

Referensi

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Kalkulus diferensial. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Perhitungan 4000. Progreso Editorial.
3. Castaño, HF (2005). Matematika sebelum perhitungan. Universitas Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Pengantar Kalkulus. Edisi Ambang.
5. Fuentes, A. (2016). MATEMATIKA DASAR. Pengantar Kalkulus. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Perhitungan. Pendidikan Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Differential Calculus (edisi ke-Second). Barquisimeto: Sisi Miring.
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Perhitungan: beberapa variabel. Pendidikan Pearson.