TURUNAN KOTANGEN: KALKULASI, PEMBUKTIAN, LATIHAN - MATEMATIKA

The turunan dari kotangens yang sama dengan kebalikan dari kuadrat dari kosekans "-Csc ² ". Rumus ini mematuhi hukum turunan menurut definisi dan diferensiasi fungsi trigonometri. Ini dilambangkan sebagai berikut:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Dimana "du" melambangkan ekspresi yang diturunkan dari fungsi argumen, sehubungan dengan variabel independen.

Sumber: Pixabay.com

Bagaimana cara menghitungnya?

Prosedur untuk mengembangkan turunan ini cukup sederhana. Cukup dengan mengidentifikasi argumen dan jenis fungsi yang diwakilinya dengan benar.

Misalnya, ekspresi Ctg (f / g) memiliki pembagian dalam argumennya. Ini akan membutuhkan diferensiasi tentang U / V, setelah mengembangkan turunan kotangen.

Kotangen adalah kebalikan dari garis singgung. Secara aljabar ini berarti:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Tidak benar untuk mengatakan bahwa fungsi kotangen adalah "kebalikan" dari tangen. Hal ini karena fungsi invers tangen menurut definisi adalah tangen busur.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Menurut trigonometri Pythagoras, kotangen terlibat dalam bagian berikut:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Menurut trigonometri analitik, ia menanggapi identitas berikut:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Karakteristik fungsi kotangen

Berbagai karakteristik dari fungsi f (x) = ctg x perlu dianalisis untuk menentukan aspek-aspek yang diperlukan untuk mempelajari diferensiasi dan penerapannya.

Asimtot vertikal

Fungsi kotangen tidak ditentukan pada nilai yang membuat ekspresi "Senx" menjadi nol. Karena padanannya Ctg x = (cos x) / (sin x), ia akan memiliki ketidakpastian di semua "nπ" dengan n milik bilangan bulat.

Artinya, di masing-masing nilai x = nπ ini akan ada asimtot vertikal. Saat Anda mendekat dari kiri, nilai kotangen akan berkurang dengan cepat, dan saat Anda mendekat dari kanan, fungsinya akan meningkat tanpa batas.

Domain

Domain dari fungsi kotangen diekspresikan oleh himpunan {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Ini dibaca sebagai "x milik himpunan bilangan real sehingga x berbeda dari nπ, dengan n milik himpunan bilangan bulat".

Pangkat

Kisaran fungsi kotangen adalah dari minus hingga plus tak terhingga. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa pangkatnya adalah himpunan bilangan real R.

Frekuensi

Fungsi kotangen bersifat periodik dan periodiknya sama dengan π. Dengan cara ini, persamaan Ctg x = Ctg (x + nπ) terpenuhi, di mana n milik Z.

Tingkah laku

Ini adalah fungsi ganjil, karena Ctg (-x) = - Ctg x. Dengan cara ini diketahui bahwa fungsi tersebut menyajikan kesimetrian sehubungan dengan asal koordinat. Ini juga menunjukkan penurunan dalam setiap interval yang terletak di antara 2 asimtot vertikal yang berurutan.

Itu tidak memiliki nilai maksimum atau minimum, karena fakta bahwa perkiraannya ke perilaku vertikal asimtot hadir di mana fungsi meningkat atau menurun tanpa batas.

Nol atau akar dari fungsi kotangen ditemukan pada kelipatan ganjil π / 2. Artinya Ctg x = 0 berlaku untuk nilai berbentuk x = nπ / 2 dengan n bilangan bulat ganjil.

Demonstrasi

Ada 2 cara untuk membuktikan turunan dari fungsi kotangen.

Bukti diferensial trigonometri

Turunan fungsi kotangen dari padanannya dalam sinus dan cosinus terbukti.

Itu diperlakukan sebagai turunan dari sebuah divisi fungsi

Setelah diturunkan faktor-faktor tersebut dikelompokkan dan tujuannya adalah untuk meniru identitas Pythagoras

Mengganti identitas dan menerapkan timbal balik, ekspresi

Bukti menurut definisi turunan

Ekspresi berikut sesuai dengan turunan menurut definisi. Dimana jarak antara 2 titik fungsi mendekati nol.

Mengganti kotangen yang kita miliki:

Identitas diterapkan untuk jumlah argumen dan timbal balik

Pecahan pembilang dioperasikan secara tradisional

Menghilangkan unsur-unsur yang berlawanan dan mengambil faktor persekutuan, kita dapatkan

Menerapkan identitas dan timbal balik Pythagoras harus kita lakukan

Elemen yang dievaluasi dalam x adalah konstan terhadap limit, oleh karena itu mereka dapat meninggalkan argumen ini. Kemudian properti batas trigonometri diterapkan.

Batas dievaluasi

Kemudian difaktorkan sampai nilai yang diinginkan tercapai

Turunan kotangen dengan demikian ditunjukkan sebagai kebalikan dari kuadrat kosekan.

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Berdasarkan fungsi f (x), tentukan ekspresi f '(x)

Derivasi yang sesuai diterapkan dengan menghormati aturan rantai

Menurunkan argumen

Kadang-kadang perlu untuk menerapkan identitas timbal balik atau trigonometri untuk menyesuaikan solusi.

Latihan 2

Tentukan ekspresi diferensial yang sesuai dengan F (x)

Menurut rumus derivasi dan menghormati aturan rantai

Argumennya diturunkan, sedangkan sisanya tetap sama

Turunkan semua elemen

Mengoperasikan dengan cara tradisional produk dari basis yang sama

Unsur-unsur yang sama ditambahkan dan faktor persekutuan diekstraksi

Tanda-tanda disederhanakan dan dioperasikan. Memberikan cara untuk ekspresi yang diturunkan sepenuhnya

Referensi

Deret Trigonometri, Volume 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
Kalkulus Variabel Tunggal. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 November 2008
Kalkulus dengan trigonometri dan geometri analitik. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
Analisis Multivariabel. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 Desember. 2010
Sistem Dinamika: Pemodelan, Simulasi, dan Pengendalian Sistem Mekatronika. Dekan C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 Maret 2012
Kalkulus: Matematika dan Pemodelan. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 Januari 1999

TURUNAN KOTANGEN: KALKULASI, PEMBUKTIAN, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025