SEGIEMPAT: ELEMEN, PROPERTI, KLASIFIKASI, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

Sebuah segiempat adalah poligon dengan empat sisi dan empat simpul. Sisi berlawanannya adalah sisi yang tidak memiliki simpul yang sama, sedangkan sisi berurutan adalah sisi yang memiliki simpul yang sama.

Dalam segiempat, sudut yang berdekatan berbagi satu sisi, sedangkan sudut yang berlawanan tidak memiliki sisi yang sama. Karakteristik penting lainnya dari segiempat adalah bahwa jumlah dari keempat sudut internalnya adalah dua kali sudut bidang, yaitu 360º atau 2π radian.

Gambar 1. Berbagai segi empat. Sumber: F. Zapata.

Diagonal adalah ruas-ruas yang menghubungkan titik sudut dengan kebalikannya dan dalam segiempat tertentu, satu diagonal dapat ditarik dari setiap titik sudut. Jumlah diagonal dalam segiempat adalah dua.

Segiempat adalah angka yang dikenal umat manusia sejak zaman kuno. Catatan arkeologi, serta konstruksi yang bertahan hari ini, membuktikan hal ini.

Demikian juga, hari ini segiempat terus memiliki kehadiran penting dalam kehidupan sehari-hari setiap orang. Pembaca dapat menemukan formulir ini di layar tempat dia membaca teks saat ini, di jendela, pintu, suku cadang otomotif, dan banyak tempat lainnya.

Klasifikasi segiempat

Menurut paralelisme dari sisi yang berlawanan, segiempat diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Trapesium, bila tidak ada paralelisme dan segiempatnya cembung.
2. Trapesium, bila ada paralelisme antara satu pasang sisi yang berlawanan.
3. Jajar genjang, ketika sisi berlawanannya sejajar dua demi dua.

Gambar 2. Klasifikasi dan subklasifikasi segiempat. Sumber: Wikimedia Commons.

Jenis jajaran genjang

Pada gilirannya, jajaran genjang dapat diklasifikasikan menurut sudut dan sisinya sebagai berikut:

1. Persegi panjang adalah jajaran genjang yang memiliki empat sudut internalnya berukuran sama. Sudut interior persegi panjang membentuk sudut siku-siku (90º).
2. Persegi, itu adalah persegi panjang dengan keempat sisinya berukuran sama.
3. Belah ketupat adalah jajaran genjang dengan empat sisi yang sama, tetapi sudut yang berdekatan berbeda.
4. Rhomboid, jajaran genjang dengan sudut berdekatan yang berbeda.

Rekstok gantung

Trapesium adalah segiempat cembung dengan dua sisi sejajar.

Gambar 3. Basis, sisi, tinggi dan median trapesium. Sumber: Wikimedia Commons.

- Dalam trapesium, sisi sejajar disebut basa dan sisi non-paralel disebut lateral.

- Tinggi trapesium adalah jarak antara dua alas, yaitu panjang segmen dengan ujung pada alas dan tegak lurus dengannya. Segmen ini juga disebut ketinggian trapesium.

- Median adalah ruas yang menghubungkan titik tengah dari lateral. Dapat ditunjukkan bahwa median sejajar dengan alas trapesium dan panjangnya sama dengan semisum alas.

- Luas trapesium adalah tingginya dikalikan dengan setengah jumlah alas:

Jenis trapesium

-Trapezoid persegi panjang : ini adalah sisi yang tegak lurus dengan alasnya. Sisi ini juga merupakan ketinggian trapesium.

- Trapesium sama kaki : satu sisi dengan panjang yang sama. Dalam trapesium sama kaki, sudut yang berdekatan dengan alasnya sama.

-Scalene trapezium : satu sisi dengan panjang yang berbeda. Sudut yang berlawanan bisa satu lancip dan yang lainnya tumpul, tetapi bisa juga terjadi keduanya tumpul atau keduanya tajam.

Gambar 4. Jenis trapezium. Sumber: F. Zapata.

Genjang

Jajar genjang adalah segiempat yang sisi berlawanannya sejajar dua kali dua. Dalam jajaran genjang, sudut yang berseberangan adalah sama dan sudut yang berdekatan merupakan tambahan, atau dengan kata lain, sudut yang berdekatan berjumlah 180º.

Jika sebuah jajaran genjang memiliki sudut siku-siku, semua sudut lainnya juga demikian, dan gambar yang dihasilkan disebut persegi panjang. Tetapi jika persegi panjang juga memiliki sisi-sisi yang berdekatan dengan panjang yang sama, maka semua sisinya sama dan gambar yang dihasilkan adalah persegi.

Gambar 5. Parallelograms. Persegi panjang, persegi, dan belah ketupat adalah jajaran genjang. Sumber: F. Zapata.

Jika jajar genjang memiliki dua sisi yang berdekatan dengan panjang yang sama, semua sisinya akan memiliki panjang yang sama, dan gambar yang dihasilkan adalah belah ketupat.

Tinggi jajaran genjang adalah segmen dengan ujung pada sisi yang berlawanan dan tegak lurus terhadapnya.

Luas jajaran genjang

Luas jajaran genjang adalah hasil kali alas dikalikan tingginya, alas adalah sisi yang tegak lurus dengan tinggi (gambar 6).

Diagonal jajaran genjang

Kuadrat dari diagonal yang dimulai dari sebuah simpul sama dengan jumlah kuadrat dari kedua sisi yang berdekatan dengan simpul tersebut ditambah hasil kali ganda dari sisi-sisi tersebut dengan kosinus dari sudut simpul tersebut:

f ² = a ² + d ² + 2 iklan Cos (α)

Gambar 6. Jajar Genjang. Sudut berlawanan, tinggi, diagonal. Sumber: F. Zapata.

Kuadrat dari diagonal yang berlawanan dengan puncak dari sebuah jajaran genjang sama dengan jumlah kuadrat dari kedua sisi yang berdekatan dengan simpul tersebut dan mengurangkan hasil kali ganda dari sisi-sisi tersebut dengan kosinus dari sudut dari simpul tersebut:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Hukum jajaran genjang

Dalam jajar genjang apa pun, jumlah kuadrat sisinya sama dengan jumlah kuadrat diagonal:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

kembali ctángulo

Persegi panjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berlawanan sejajar dua kali dua dan yang juga bersudut siku-siku. Dengan kata lain, persegi panjang adalah jenis jajaran genjang dengan sudut siku-siku. Karena ini adalah jajaran genjang, persegi panjang memiliki sisi yang berlawanan dengan panjang yang sama a = c dan b = d.

Tetapi seperti dalam jajaran genjang, sudut yang berdekatan adalah tambahan dan sudut yang berlawanan sama, dalam persegi panjang karena memiliki sudut siku-siku, itu akan membentuk sudut siku-siku di tiga sudut lainnya. Dengan kata lain, dalam persegi panjang semua sudut dalam berukuran 90º atau π / 2 radian.

Diagonal persegi panjang

Dalam persegi panjang, diagonal memiliki panjang yang sama, seperti yang akan ditunjukkan di bawah ini. Alasannya adalah sebagai berikut; Persegi panjang adalah jajaran genjang dengan semua sudut siku-siku dan karena itu mewarisi semua properti dari jajaran genjang, termasuk rumus yang memberikan panjang diagonal:

f ² = a ² + d ² + 2 iklan Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

dengan α = 90º

Karena Cos (90º) = 0, maka yang terjadi adalah:

f ² = g ² = a ² + d ²

Yaitu, f = g, dan oleh karena itu panjang f dan g dari dua diagonal persegi panjang adalah sama dan panjangnya diberikan oleh:

Selanjutnya, jika dalam sebuah persegi panjang dengan sisi yang berdekatan a dan b salah satu sisinya diambil sebagai alas, sisi lainnya akan menjadi tinggi dan akibatnya luas persegi panjang tersebut adalah:

Luas persegi panjang = kapak b.

Keliling adalah jumlah semua sisi persegi panjang, tetapi karena kebalikannya sama, maka untuk persegi panjang dengan sisi a dan b, kelilingnya diberikan dengan rumus berikut:

Keliling persegi panjang = 2 (a + b)

Gambar 7. Persegi panjang dengan sisi a dan b. Diagonal f dan g memiliki panjang yang sama. Sumber: F. Zapata.

Kotak

Persegi adalah persegi panjang dengan sisi yang berdekatan memiliki panjang yang sama. Jika bujur sangkar bersisi a, maka diagonal f dan g memiliki panjang yang sama, yaitu f = g = (√2) a.

Luas persegi adalah persegi sisinya:

Luas persegi = a ²

Keliling persegi dua kali panjang sisinya:

Keliling persegi = 4 a

Gambar 8. Persegi dengan sisi a, menunjukkan luasnya, kelilingnya dan panjang diagonalnya. Sumber: F. Zapata ..

berlian

Belah ketupat adalah jajaran genjang dengan sisi-sisi yang berdekatan memiliki panjang yang sama, tetapi karena sisi-sisi yang berlawanan sama dalam satu jajaran genjang, maka semua sisi belah ketupat memiliki panjang yang sama.

Diagonal belah ketupat memiliki panjang yang berbeda, tetapi berpotongan pada sudut siku-siku.

Gambar 9. Belah sisi a, menunjukkan luasnya, kelilingnya dan panjang diagonalnya. Sumber: F. Zapata.

Contoh

Contoh 1

Tunjukkan bahwa dalam segiempat (tidak bersilangan) sudut internal berjumlah 360º.

Gambar 10: Ditunjukkan bagaimana jumlah sudut segiempat dijumlahkan menjadi 360º. Sumber: F. Zapata.

ABCD segiempat dipertimbangkan (lihat gambar 10) dan BD diagonal digambar. Dua segitiga ABD dan BCD terbentuk. Jumlah sudut dalam segitiga ABD adalah:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Dan jumlah sudut dalam segitiga BCD adalah:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Menambahkan dua persamaan yang kita peroleh:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Pengelompokan:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Dengan mengelompokkan dan mengganti nama, akhirnya terlihat bahwa:

α + β + δ + γ = 360º

Contoh 2

Tunjukkan bahwa median dari sebuah trapesium sejajar dengan alasnya dan panjangnya adalah semisum dari alasnya.

Gambar 11. Median MN dari trapezium ABCD. Sumber: F. Zapata.

Median trapesium adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya, yaitu sisi-sisi yang tidak sejajar. Dalam ABCD trapesium yang ditunjukkan pada gambar 11 mediannya adalah MN.

Karena M adalah titik tengah AD dan N adalah titik tengah BC, rasio AM / AD dan BN / BC adalah sama.

Artinya, AM sebanding dengan BN dalam proporsi yang sama dengan AD terhadap BC, sehingga syarat-syarat yang diberikan untuk penerapan teorema Thales (timbal balik) yang menyatakan sebagai berikut:

"Jika segmen proporsional ditentukan dalam tiga atau lebih garis yang dipotong oleh dua garis potong, maka garis-garis ini sejajar."

Dalam kasus kami disimpulkan bahwa garis MN, AB dan DC sejajar satu sama lain, oleh karena itu:

"Median trapesium sejajar dengan alasnya."

Sekarang teorema Thales akan diterapkan:

"Satu set paralel yang dipotong oleh dua atau lebih garis potong menentukan segmen proporsional."

Dalam kasus kita AD = 2 AM, AC = 2 AO, jadi segitiga DAC mirip dengan segitiga MAO, dan akibatnya DC = 2 MO.

Argumen serupa memungkinkan kita untuk menegaskan bahwa CAB mirip dengan CON, di mana CA = 2 CO dan CB = 2 CN. Segera setelah itu AB = 2 ON.

Singkatnya, AB = 2 ON dan DC = 2 MO. Jadi saat menambahkan kami memiliki:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Akhirnya MN dihapus:

MN = (AB + DC) / 2

Dan disimpulkan bahwa median dari trapesium mengukur semi-jumlah pangkalan, atau dengan kata lain: median mengukur jumlah pangkalan, dibagi dua.

Contoh 3

Tunjukkan bahwa dalam belah ketupat, diagonal berpotongan pada sudut siku-siku.

Gambar 12. Belah ketupat dan demonstrasi bahwa diagonalnya berpotongan pada sudut siku-siku. Sumber: F. Zapata.

Papan tulis pada gambar 12 menunjukkan konstruksi yang diperlukan. Pertama jajaran genjang ABCD digambar dengan AB = BC, yaitu belah ketupat. Diagonal AC dan DB menentukan delapan sudut yang ditunjukkan pada gambar.

Dengan menggunakan teorema (aip) yang menyatakan bahwa sudut-sudut interior alternatif antara paralel yang dipotong oleh garis potong menentukan sudut yang sama, kita dapat menetapkan sebagai berikut:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ dan δ2 = β2. (*)

Di sisi lain, karena sisi-sisi yang berdekatan dari belah ketupat memiliki panjang yang sama, empat segitiga sama kaki ditentukan:

DAB, BCD, CDA dan ABC

Sekarang teorema segitiga (sama kaki) digunakan, yang menyatakan bahwa sudut yang berdekatan dengan alas memiliki ukuran yang sama, dari situ disimpulkan bahwa:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ dan α ₁ = γ2 (**)

Jika hubungan (*) dan (**) digabungkan, persamaan sudut berikut tercapai:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ di satu sisi dan β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 di sisi lain.

Mengingat teorema segitiga sama besar yang menyatakan bahwa dua segitiga dengan sisi yang sama di antara dua sudut yang sama adalah sama, kita mendapatkan:

AOD = AOB dan akibatnya juga sudut ∡AOD = ∡AOB.

Kemudian ∡AOD + ∡AOB = 180º, tetapi karena kedua sudut memiliki ukuran yang sama, kita memiliki 2 ∡AOD = 180º yang berarti ∡AOD = 90º.

Artinya, ditunjukkan secara geometris bahwa diagonal belah ketupat berpotongan pada sudut siku-siku.

Latihan diselesaikan

- Latihan 1

Tunjukkan bahwa dalam trapesium kanan, sudut non-siku-siku adalah pelengkap.

Larutan

Gambar 13. Trapesium kanan. Sumber: F. Zapata.

ABCD trapesium dibangun dengan basis paralel AB dan DC. Sudut bagian dalam simpul A benar (ukurannya 90º), jadi kita memiliki trapesium kanan.

Sudut α dan δ adalah sudut internal antara dua paralel AB dan DC, oleh karena itu keduanya sama, yaitu δ = α = 90º.

Di sisi lain, telah ditunjukkan bahwa penjumlahan sudut internal segiempat berjumlah 360º, yaitu:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Di atas mengarah ke:

β + δ = 180º

Mengkonfirmasi apa yang ingin ditunjukkan, bahwa sudut β dan δ adalah tambahan.

- Latihan 2

Sebuah jajaran genjang ABCD memiliki AB = 2 cm dan AD = 1 cm, ditambah sudut BAD adalah 30º. Tentukan luas jajaran genjang ini dan panjang kedua diagonalnya.

Larutan

Luas jajaran genjang adalah hasil kali dari panjang alas dan tingginya. Dalam hal ini, panjang ruas b = AB = 2 cm akan diambil sebagai alas, sisi lainnya memiliki panjang a = AD = 1 cm dan tinggi h akan dihitung sebagai berikut:

Ketinggian = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Jadi: Luas = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Referensi

1. CEA (2003). Elemen geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universitas Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Temukan Poligon. Perusahaan Pendidikan Benchmark.
4. Hendrik, V. (2013). Poligon Umum. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika Semester Pertama Tacaná. IGER.
6. Geometri Jr. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematika: Penalaran Dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Progres Editorial.
9. Wikipedia. Segiempat. Diperoleh dari: es.wikipedia.com