Fungsi logaritma adalah hubungan matematis yang mengaitkan setiap bilangan real positif x dengan logaritma y pada bilangan pokok a. Relasi ini memenuhi syarat untuk menjadi sebuah fungsi: setiap elemen x yang dimiliki domain memiliki gambar yang unik.
Jadi:
Karena logaritma berdasarkan bilangan x adalah bilangan y yang harus ditinggikan alas a untuk mendapatkan x.
-Logaritma basis selalu 1. Jadi, grafik f (x) = log a x selalu memotong sumbu x pada titik (1,0)
-Fungsi logaritmik adalah transenden dan tidak dapat diekspresikan sebagai polinomial atau hasil bagi dari ini. Selain logaritma, kelompok ini antara lain mencakup fungsi trigonometri dan eksponensial.
Contoh
Fungsi logaritmik dapat ditetapkan menggunakan berbagai basis, tetapi yang paling banyak digunakan adalah 10 dan e, di mana e adalah bilangan Euler yang sama dengan 2,71828….
Ketika basis 10 digunakan, logaritma disebut logaritma desimal, logaritma biasa, Briggs 'atau hanya logaritma biasa.
Dan jika angka e digunakan, maka itu disebut logaritma natural, setelah John Napier, ahli matematika Skotlandia yang menemukan logaritma.
Notasi yang digunakan untuk masing-masing adalah sebagai berikut:
-Logaritma desimal: log 10 x = log x
-Logaritma Neperian: ln x
Saat Anda akan menggunakan basis lain, sangatlah penting untuk menunjukkannya sebagai subskrip, karena logaritma setiap bilangan berbeda bergantung pada basis yang akan digunakan. Misalnya, jika logaritma dalam basis 2, tulis:
y = log 2 x
Mari kita lihat logaritma angka 10 dalam tiga basis yang berbeda, untuk menggambarkan hal ini:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3.32193
Kalkulator umum hanya menghadirkan logaritma desimal (fungsi log) dan logaritma natural (fungsi ln). Di Internet ada kalkulator dengan pangkalan lain. Bagaimanapun, pembaca dapat memverifikasi, dengan bantuannya, bahwa nilai sebelumnya terpenuhi:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Perbedaan kecil desimal disebabkan oleh jumlah tempat desimal yang digunakan untuk menghitung logaritma.
Keunggulan logaritma
Di antara keuntungan menggunakan logaritma adalah kemudahan yang mereka berikan untuk bekerja dengan bilangan besar, menggunakan logaritma bukan bilangan secara langsung.
Hal ini dimungkinkan karena fungsi logaritma tumbuh lebih lambat seiring bertambahnya angka, seperti yang dapat kita lihat pada grafik.
Jadi, bahkan dengan angka yang sangat besar, logaritma mereka jauh lebih kecil, dan memanipulasi angka kecil selalu lebih mudah.
Selain itu, logaritma memiliki properti berikut:
- Produk : log (ab) = log a + log b
- Hasil Bagi : log (a / b) = log a - log b
- Daya : log a b = b.log a
Dan dengan cara ini, hasil kali dan hasil quotients menjadi penjumlahan dan pengurangan bilangan yang lebih kecil, sedangkan pemberdayaan menjadi produk yang sederhana meskipun kekuatannya tinggi.
Itulah sebabnya logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan angka yang bervariasi dalam rentang nilai yang sangat besar, seperti intensitas suara, pH larutan, kecerahan bintang, hambatan listrik, dan intensitas gempa bumi pada skala Richter.
Gambar 2. Logaritma digunakan pada skala Richter untuk mengukur besarnya gempa bumi. Gambar menunjukkan bangunan runtuh di Concepción, Chili, saat gempa bumi 2010. Sumber: Wikimedia Commons.
Mari kita lihat contoh penanganan properti logaritma:
Contoh
Temukan nilai x pada ekspresi berikut:
Balasan
Di sini kita memiliki persamaan logaritmik, karena yang tidak diketahui ada dalam argumen logaritma. Ini diselesaikan dengan meninggalkan satu logaritma di setiap sisi persamaan.
Kita mulai dengan menempatkan semua suku yang mengandung "x" di sebelah kiri persamaan, dan suku yang hanya berisi angka di sebelah kanan:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Di sebelah kiri kita memiliki pengurangan dua logaritma, yang dapat ditulis sebagai logaritma hasil bagi:
log = 1
Namun, di sebelah kanan adalah angka 1, yang bisa kita nyatakan sebagai log 10, seperti yang kita lihat sebelumnya. Begitu:
log = log 10
Agar persamaan menjadi benar, argumen logaritma harus sama:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Latihan aplikasi: skala Richter
Pada tahun 1957 gempa bumi terjadi di Meksiko yang besarnya 7,7 pada skala Richter. Pada tahun 1960 gempa bumi lain dengan kekuatan yang lebih besar terjadi di Chili, sebesar 9,5.
Hitung berapa kali gempa bumi di Chile lebih hebat daripada gempa di Meksiko, dengan mengetahui bahwa magnitudo MR pada skala Richter diberikan dengan rumus:
M R = log (10 4 I)
Larutan
Besaran gempa dalam skala richter adalah fungsi logaritmik. Kami akan menghitung intensitas setiap gempa, karena kami memiliki magnitudo Richter. Mari kita lakukan selangkah demi selangkah:
- Meksiko : 7,7 = log (10 4 I)
Karena kebalikan dari fungsi logaritma adalah eksponensial, kita menerapkannya ke kedua sisi persamaan dengan maksud menyelesaikan untuk I, yang ditemukan dalam argumen logaritma.
Karena merupakan logaritma desimal, basisnya adalah 10. Maka:
10 7,7 = 10 4 I
Intensitas gempa Meksiko adalah:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Chili : 9,5 = log (10 4 I)
Prosedur yang sama membawa kita pada intensitas gempa bumi Chili I Ch :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Sekarang kita dapat membandingkan kedua intensitas:
I Ch / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
I Ch = 63.1. Saya M
Gempa di Chili sekitar 63 kali lebih kuat daripada gempa di Meksiko. Karena besarannya adalah logaritmik, ia tumbuh lebih lambat daripada intensitasnya, jadi perbedaan 1 besarannya, berarti amplitudo gelombang seismik 10 kali lebih besar.
Perbedaan antara kedua gempa bumi adalah 1,8, oleh karena itu kita dapat mengharapkan perbedaan intensitas yang mendekati 100 daripada 10, seperti yang sebenarnya terjadi.
Faktanya, jika perbedaannya tepat 2, gempa bumi Chili akan 100 kali lebih kuat daripada gempa Meksiko.
Referensi
- Carena, M. 2019. Manual Matematika Pra-Universitas. Universitas Nasional Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1. Tahun Diversifikasi. Edisi CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Aljabar. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Perhitungan variabel. 9. Edisi. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematika untuk Kalkulus. 5. Edisi. Pembelajaran Cengage.