TEOREMA EUCLID: BUKTI, PENERAPAN DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

The Euclid Teorema menunjukkan sifat-sifat segitiga dengan menarik garis yang membagi itu menjadi dua segitiga baru yang serupa dan, pada gilirannya, mirip dengan segitiga asli; kemudian, ada hubungan proporsionalitas.

Euclid adalah salah satu ahli matematika dan geometri terbesar di zaman kuno yang melakukan beberapa bukti teorema penting. Salah satu yang utama adalah salah satu yang menyandang namanya, yang telah diterapkan secara luas.

Hal ini terjadi karena, melalui teorema ini, dijelaskan secara sederhana tentang hubungan geometri yang ada pada segitiga siku-siku, di mana kaki-kaki segitiga berhubungan dengan proyeksi mereka pada sisi miring.

Rumus dan demonstrasi

Teorema Euclid menyatakan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, ketika sebuah garis ditarik - yang melambangkan ketinggian yang sesuai dengan titik sudut siku-siku sehubungan dengan sisi miring - dua segitiga siku-siku terbentuk dari aslinya.

Segitiga ini akan serupa satu sama lain dan juga akan mirip dengan segitiga asli, yang berarti bahwa sisi-sisinya yang serupa proporsional satu sama lain:

Sudut ketiga segitiga tersebut kongruen; artinya, ketika mereka diputar 180 derajat di sekitar puncaknya, satu sudut bertepatan dengan yang lain. Ini menyiratkan bahwa mereka semua akan sama.

Dengan cara ini, kemiripan yang ada di antara ketiga segitiga tersebut juga dapat diverifikasi dengan persamaan sudutnya. Dari kesamaan segitiga, Euclid menetapkan proporsi ini dari dua teorema:

- Teorema ketinggian.

- Teorema kaki.

Teorema ini memiliki penerapan yang luas. Di zaman kuno digunakan untuk menghitung ketinggian atau jarak, mewakili kemajuan besar untuk trigonometri.

Saat ini diterapkan di berbagai bidang yang didasarkan pada matematika, seperti teknik, fisika, kimia dan astronomi, di antara banyak bidang lainnya.

Teorema ketinggian

Dalam teorema ini ditetapkan bahwa dalam setiap segitiga siku-siku, ketinggian yang ditarik dari sudut siku-siku terhadap sisi miring adalah rata-rata proporsional geometris (kuadrat tinggi) antara proyeksi kaki yang ditentukan pada sisi miring.

Artinya, kuadrat tinggi akan sama dengan perkalian kaki yang diproyeksikan membentuk sisi miring:

h _c ² = m _* n

Demonstrasi

Diketahui sebuah segitiga ABC, yang berada tepat di puncak C, memplot ketinggiannya menghasilkan dua segitiga siku-siku yang serupa, ADC dan BCD; oleh karena itu, sisi-sisinya yang sesuai proporsional:

Sedemikian rupa sehingga tinggi h _c yang sesuai dengan segmen CD, sesuai dengan hipotenusa AB = c, maka kita memiliki:

Selanjutnya, ini sesuai dengan:

Memecahkan sisi miring (h _c ), untuk mengalikan dua anggota persamaan, kita memiliki:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Jadi, nilai miring diberikan oleh:

Teorema kaki

Dalam teorema ini, ditetapkan bahwa, dalam setiap segitiga siku-siku, ukuran setiap kaki akan menjadi rata-rata proporsional geometris (kuadrat setiap kaki) antara ukuran hipotenusa (lengkap) dan proyeksi masing-masing kaki miring:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstrasi

Diketahui segitiga ABC, yang berada tepat di puncak C, sedemikian rupa sehingga hipotenusanya adalah c, ketika memplot tinggi (h) proyeksi kaki a dan b ditentukan, yang merupakan segmen m dan n masing-masing, dan yang terletak di atasnya. sisi miring.

Jadi, kita mendapatkan bahwa tinggi yang digambar pada segitiga siku-siku ABC menghasilkan dua segitiga siku-siku yang serupa, ADC dan BCD, sehingga sisi-sisinya proporsional, seperti ini:

DB = n, yang merupakan proyeksi kaki CB ke hipotenusa.

AD = m, yaitu proyeksi kaki AC pada hipotenusa.

Kemudian, sisi miring c ditentukan oleh jumlah kaki proyeksinya:

c = m + n

Karena kesamaan segitiga ADC dan BCD, kami memiliki:

Di atas sama dengan:

Memecahkan kaki "a" untuk mengalikan dua anggota persamaan, kita memiliki:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Jadi, nilai kaki "a" diberikan oleh:

Dengan cara yang sama, karena kesamaan segitiga ACB dan ADC, kami memiliki:

Di atas sama dengan:

Menyelesaikan leg "b" untuk mengalikan dua anggota persamaan, kita memiliki:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Jadi, nilai kaki "b" diberikan oleh:

Hubungan antara teorema Euclid

Teorema yang mengacu pada tinggi dan kaki berhubungan satu sama lain karena ukuran keduanya dibuat terhadap sisi miring segitiga siku-siku.

Melalui hubungan teorema Euclid nilai ketinggian juga dapat ditemukan; hal ini dimungkinkan dengan menyelesaikan nilai m dan n dari teorema tungkai dan mereka diganti dalam teorema ketinggian. Dengan cara ini terpenuhi bahwa tingginya sama dengan perkalian kaki, dibagi dengan sisi miring:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Dalam teorema ketinggian kita mengganti m dan n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Latihan terselesaikan

Contoh 1

Diketahui segitiga ABC, tepat di A, tentukan besar AC dan AD, jika AB = 30 cm dan BD = 18 cm

Larutan

Dalam hal ini kita memiliki pengukuran salah satu kaki yang diproyeksikan (BD) dan salah satu kaki segitiga asli (AB). Dengan cara ini, teorema tungkai dapat diterapkan untuk mencari nilai tungkai BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* SM

900 = 18 _* SM

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Nilai dari CD kaki dapat diketahui dengan mengetahui bahwa BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Sekarang dimungkinkan untuk menentukan nilai kaki AC, menerapkan teorema kaki lagi:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Untuk menentukan nilai ketinggian (AD), digunakan teorema ketinggian, karena nilai CD dan BD kaki yang diproyeksikan diketahui:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

IKLAN = 24 cm

Contoh 2

Tentukan nilai tinggi (h) segitiga MNL, tepat di N, dengan mengetahui ukuran segmen:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Larutan

Kami memiliki ukuran salah satu kaki yang diproyeksikan pada sisi miring (PM), serta ukuran kaki segitiga asli. Dengan cara ini, teorema kaki dapat diterapkan untuk mencari nilai kaki lain yang diproyeksikan (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Karena nilai tungkai dan hipotenusa sudah diketahui, maka melalui hubungan teorema ketinggian dan tungkai, nilai tinggi dapat ditentukan:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

tinggi = 125 cm.

Referensi

1. Braun, E. (2011). Kekacauan, fraktal, dan hal-hal aneh. Dana Budaya Ekonomi.
2. Cabrera, VM (1974). Matematika Modern, Volume 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matematika tahun ketiga. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (sembilan belas sembilan puluh lima). Ensiklopedia Hispanik: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Elemen Geometri Euclid.
6. Guardeño, AJ (2000). Warisan matematika: dari Euclid hingga Newton, para jenius melalui buku-buku mereka. Universitas Sevilla.