SIMETRI PUSAT: PROPERTI, CONTOH, DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

Dua titik A dan A 'memiliki simetri pusat sehubungan dengan titik O ketika segmen AA' melewatinya dan itu juga merupakan titik tengah AA '. Titik O disebut pusat simetri.

Simetris pusat dari segitiga ABC terhadap titik O, adalah segitiga lain A'B'C 'yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

Segmen -Homologous memiliki panjang yang sama

-Sudut yang sesuai memiliki ukuran yang sama.

Gambar 1. Segitiga ABC dan A'B'C 'simetrisnya. Sumber: F. Zapata.

Gambar 1 menunjukkan segitiga ABC (merah) dan pusat simetri A'B'C '(hijau), sehubungan dengan pusat simetri O.

Dalam gambar yang sama ini, seorang pengamat yang cermat akan menyadari bahwa hasil yang sama diperoleh dengan menerapkan rotasi segitiga asli, selama segitiga tersebut 180º dan berpusat di O.

Oleh karena itu, simetri pusat setara dengan putaran 180º sehubungan dengan pusat simetri.

Properti simetri pusat

Simetri pusat memiliki sifat berikut:

-Pusat simetri adalah titik tengah ruas yang menghubungkan suatu titik dengan simetrinya.

-Sebuah titik simetris dari titik lain yang terletak di pusat simetri, bertepatan dengan pusat simetri.

Simetris pusat dari sebuah segitiga adalah segitiga kongruen (sama) dengan aslinya.

-Gambar dengan simetri pusat lingkaran adalah lingkaran lain dengan radius yang sama.

-Lingkar memiliki simetri pusat sehubungan dengan pusatnya sendiri.

Gambar 2. Desain dengan simetri pusat. Sumber: Pixabay.

-Elips memiliki simetri pusat sehubungan dengan pusatnya.

Segmen -A memiliki simetri pusat sehubungan dengan titik tengahnya.

-Segi tiga sama sisi tidak memiliki kesimetrian pusat sehubungan dengan pusatnya, karena kesimetriannya, meskipun kongruen dengan yang pertama, menghasilkan segitiga sama sisi yang berotasi.

-Kotak memiliki simetri pusat sehubungan dengan pusatnya.

Segi lima tidak memiliki simetri pusat sehubungan dengan pusatnya.

-Poligon beraturan memiliki kesimetrian pusat jika jumlah sisinya genap.

Contoh

Kriteria simetri memiliki banyak aplikasi dalam sains dan teknik. Simetri pusat hadir di alam, misalnya kristal es dan jaring laba-laba memiliki simetri semacam ini.

Selain itu, banyak masalah yang mudah diselesaikan dengan memanfaatkan keberadaan simetri pusat dan jenis simetri lainnya. Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk segera mengidentifikasi kapan hal itu terjadi.

Gambar 3. Kristal es memiliki simetri pusat. Sumber: Pixabay.

Contoh 1

Diketahui titik P dari koordinat (a, b), kita harus mencari koordinat simetris P 'yang berkaitan dengan asal koordinat O (0, 0).

Hal pertama adalah membangun titik P ', yang akan ditarik garis yang melewati titik awal O dan melalui titik P. Persamaan garis ini adalah y = (b / a) x.

Sekarang mari kita panggil (a ', b') koordinat dari titik simetris P '. Titik P 'harus terletak pada garis yang melewati O dan oleh karena itu benar: b' = (b / a) a '. Selanjutnya jarak OP harus sama dengan OP ', yang dalam bentuk analisisnya ditulis seperti ini:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Berikut ini adalah untuk mengganti b '= pada persamaan sebelumnya dan kuadratkan kedua sisi persamaan untuk menghilangkan akar kuadrat: (a ² + b ² ) =

Dengan mengekstrak faktor persekutuan dan menyederhanakannya, kita mendapatkan bahwa a ' ² = a ² . Persamaan ini memiliki dua solusi nyata: a '= + a atau a' = -a.

Untuk mendapatkan b ', kita kembali menggunakan b' = (b / a) a '. Jika solusi positif dari a 'diganti, kita sampai pada b' = b. Dan ketika solusi negatif diganti, maka b '= -b.

Solusi positif memberikan P 'titik yang sama P, sehingga dibuang. Solusi negatif pasti memberikan koordinat titik simetris:

P ': (-a, -b)

Contoh 2

Diperlukan untuk menunjukkan bahwa segmen AB dan simetris pusatnya A'B 'memiliki panjang yang sama.

Dimulai dengan koordinat titik A, yaitu (Ax, Ay) dan titik B: (Bx, By), panjang segmen AB diberikan oleh:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (Oleh - Ay) ² )

Dengan analogi, segmen simetris A'B 'akan memiliki panjang yang diberikan oleh:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Oleh' - Ay ') ² )

Koordinat dari titik simetris A 'adalah Ax' = -Ax dan Ay '= -Ay. Demikian pula dengan B 'adalah Bx' = -Bx dan By '= -By. Jika koordinat ini diganti dalam persamaan jarak d (A'B ') kita memiliki:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) yang setara dengan:

√ ((Bx - Ax) ² + (Oleh - Ay) ² ) = d (AB)

Dengan demikian ditunjukkan bahwa kedua ruas tersebut memiliki panjang yang sama.

Latihan terselesaikan

- Latihan 1

Tunjukkan secara analitis bahwa pusat simetris O dari lingkaran berjari-jari R dan pusat O adalah lingkaran asli yang sama.

Larutan

Persamaan lingkaran dengan jari-jari R dan pusat O (0,0) adalah:

x ² + y ² = R ² (Persamaan keliling C)

Jika pada setiap titik P keliling y koordinat (x, y) ditemukan koordinat P 'simetrisnya (x', y '), persamaan keliling simetrisnya adalah:

x ' ² + y' ² = R ² (Persamaan lingkaran simetris C ')

Sekarang kita lihat hasil contoh 1, di mana disimpulkan bahwa koordinat titik P ', simetris dengan P dan dengan koordinat (a, b), adalah (-a, -b).

Namun pada latihan ini, titik P memiliki koordinat (x, y), jadi simetris P 'akan memiliki koordinat x' = -xe y '= -y. Mensubstitusikan ini ke dalam persamaan lingkaran simetris yang kita miliki:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Yang setara dengan: x ² + y ² = R ² , menyimpulkan bahwa simetris pusat sebuah lingkaran terhadap pusatnya adalah lingkaran itu sendiri.

- Latihan 2

Tunjukkan dalam bentuk geometris bahwa simetri pusat mempertahankan sudutnya.

Larutan

Gambar 4. Konstruksi titik-titik simetris untuk latihan 2. Sumber: F. Zapata.

Ada tiga titik A, B dan C di pesawat. Simetrisnya A ', B' dan C 'dibangun dengan memperhatikan pusat simetri O, seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.

Sekarang kita harus menunjukkan bahwa sudut ∡ABC = β memiliki ukuran yang sama dengan sudut ∡A'B'C '= β'.

Karena C dan C 'simetris, maka OC = OC'. Demikian pula OB = OB 'dan OA = OA'. Di sisi lain, sudut ∡BOC = ∡B'OC 'karena ditentang oleh simpul.

Oleh karena itu segitiga BOC dan B'OC 'adalah kongruen karena memiliki sudut yang sama antara dua sisi yang sama besar.

Karena BOC kongruen dengan B'OC 'maka sudut γ dan γ' sama. Tapi sudut-sudut ini, selain memenuhi γ = γ ', adalah alternatif internal antara garis BC dan B'C', yang berarti bahwa garis BC sejajar dengan B'C '.

Demikian pula BOA kongruen dengan B'OA 'yang mengikuti α = α'. Tetapi α dan α 'adalah sudut interior alternatif antara garis BA dan B'A', dari situ disimpulkan bahwa garis BA sejajar dengan B'A '.

Karena sudut ∡ABC = β memiliki sisi-sisinya sejajar dengan sudut ∡A'B'C '= β' dan juga keduanya lancip, maka disimpulkan bahwa:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Membuktikan dengan cara ini, bahwa simetri pusat mempertahankan ukuran sudutnya.

Referensi

1. Baldor, JA 1973. Geometri Bidang dan Ruang. Budaya Amerika Tengah.
2. Hukum dan rumus matematika. Sistem pengukuran sudut. Dipulihkan dari: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Geometri Bidang. Diperoleh dari: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Simetri pusat. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Konveyor. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugasi sudut internal dan eksternal. Diperoleh dari: lifeder.com