SIMETRI AKSIAL: PROPERTI, CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

The simetri aksial adalah ketika poin dari sosok bertepatan dengan poin dari sosok lain oleh garis-lurus disebut sumbu simetri. Ini juga disebut simetri radial, rotasi, atau silinder.

Ini biasanya diterapkan dalam bentuk geometris, tetapi mudah diamati di alam, karena ada hewan seperti kupu-kupu, kalajengking, kepik atau manusia yang menyajikan simetri aksial.

Simetri aksial dipamerkan dalam foto cakrawala kota Toronto ini dan pantulannya di air. (Sumber: pixabay)

Bagaimana mencari simetris aksial

Untuk mencari simetri aksial P 'dari sebuah titik P terhadap sebuah garis (L), operasi geometri berikut dilakukan:

1.- Garis tegak lurus (L) yang melewati titik P.

2.- Intersepsi dua garis menentukan titik O.

3.- Panjang segmen PO diukur, kemudian panjang ini disalin ke atas garis (PO) mulai dari O searah dari P ke O, menentukan titik P '.

4.- Titik P 'adalah simetris aksial titik P terhadap sumbu (L), karena garis (L) adalah titik-bagi ruas PP', menjadi O titik tengah ruas tersebut.

Gambar 1. Dua titik P dan P 'simetris secara aksial terhadap suatu sumbu (L) jika sumbu tersebut merupakan garis-bagi dari ruas PP'

Sifat simetri aksial

- Simetri aksial adalah isometrik, yaitu jarak suatu bangun geometris dan kesimetrisannya dipertahankan.

- Ukuran sudut dan simetrisnya sama.

- Simetri aksial suatu titik pada sumbu simetri adalah titik itu sendiri.

- Garis simetris dari garis yang sejajar dengan sumbu simetri juga merupakan garis yang sejajar dengan sumbu tersebut.

- Garis garis potong ke sumbu simetri memiliki garis potong simetris yang sama dengan garis potong lainnya yang memotong sumbu simetri pada titik yang sama pada garis aslinya.

- Gambar simetris sebuah garis adalah garis lain yang membentuk sudut dengan sumbu simetri yang sama besarnya dengan garis aslinya.

- Gambar simetris dari sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu simetri adalah garis lain yang tumpang tindih dengan yang pertama.

- Sebuah garis dan garis simetris aksial membentuk sudut yang pembagiannya adalah sumbu simetri.

Gambar 2. Simetri aksial mempertahankan jarak dan sudut.

Contoh simetri aksial

Alam menunjukkan banyak sekali contoh simetri aksial. Misalnya, Anda bisa melihat simetri wajah, serangga seperti kupu-kupu, pantulan pada permukaan air yang tenang dan cermin atau daun tanaman, di antara banyak lainnya.

Gambar 3. Kupu-kupu ini menunjukkan simetri aksial yang mendekati sempurna. (Sumber: pixabay)

Gambar 4. Wajah gadis ini memiliki simetri aksial. (Sumber: pixabay)

Latihan simetri aksial

Latihan 1

Kami memiliki segitiga simpul A, B dan C yang koordinat Cartesiannya masing-masing adalah A = (2, 5), B = (1, 1) dan C = (3,3). Temukan koordinat kartesius dari segitiga simetris tentang sumbu Y (sumbu ordinat).

Solusi: Jika suatu titik P memiliki koordinat (x, y) maka simetrisnya terhadap sumbu ordinat (sumbu Y) adalah P '= (- x, y). Dengan kata lain nilai absisnya berubah tanda, sedangkan nilai ordinatnya tetap sama.

Dalam hal ini, segitiga simetris dengan simpul A ', B' dan C 'akan memiliki koordinat:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) dan C' = (- 3, 3) seperti yang dapat dilihat pada gambar 6.

Gambar 6. Jika sebuah titik memiliki koordinat (x, y), simetrisnya terhadap sumbu Y (sumbu ordinat) akan memiliki koordinat (-x, y).

Latihan 2

Dengan mengacu pada segitiga ABC dan A'B'C 'simetrisnya dari latihan 1, periksa apakah sisi-sisi yang sesuai dari segitiga asli dan simetrisnya memiliki panjang yang sama.

Penyelesaian: Untuk mencari jarak atau panjang sisi-sisinya kita menggunakan rumus jarak Euclidean:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (Oleh - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Panjang sisi simetris A'B 'yang sesuai dihitung di bawah ini:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Dengan cara ini, diverifikasi bahwa simetri aksial menjaga jarak antara dua titik. Prosedur ini dapat diulangi untuk dua sisi segitiga lainnya dan simetrisnya untuk memeriksa panjang invariannya. Misalnya -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Latihan 3

Sehubungan dengan segitiga ABC dan A'B'C 'simetrisnya dari Latihan 1, periksa apakah sudut yang sesuai dari segitiga asli dan simetrisnya memiliki ukuran sudut yang sama.

Solusi: Untuk menentukan ukuran sudut BAC dan B'A'C ', pertama kita akan menghitung produk skalar dari vektor AB dengan AC dan kemudian produk skalar dari A'B' dengan A'C ' .

Mengingat itu:

A = (2, 5), B = (1, 1) dan C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) dan C' = (- 3, 3).

Memiliki:

AB = <1-2, 1-5> dan AC = <3-2, 3-5>

demikian pula

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> dan AC = <-3 + 2, 3-5>

Kemudian produk skalar berikut ditemukan:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Demikian pula

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Ukuran sudut BAC adalah:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º

Demikian pula ukuran sudut B'A'C 'adalah:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4.123⋅2.236)) = 40.6º

Menyimpulkan bahwa simetri aksial mempertahankan ukuran sudut.

Latihan 4

Misalkan sebuah titik P memiliki koordinat (a, b). Tentukan koordinat simetri aksial P 'terhadap garis y = x.

Solusi: Kami akan memanggil (a ', b') koordinat titik simetris P 'sehubungan dengan garis y = x. Titik tengah M ruas PP 'memiliki koordinat ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) dan juga pada garis y = x, sehingga persamaan berikut berlaku:

a + a '= b + b'

Sebaliknya, ruas PP 'memiliki kemiringan -1 karena tegak lurus dengan garis y = x dari kemiringan 1, sehingga persamaan berikut berlaku:

b - b '= a' -a

Memecahkan dua persamaan sebelumnya a 'dan b' disimpulkan bahwa:

a '= dengan itu b' = a.

Artinya, jika diberi titik P (a, b), simetri aksialnya terhadap garis y = x adalah P '(b, a).

Referensi

1. Arce M., Blázquez S, dan lainnya. Transformasi pesawat. Diperoleh dari: educutmxli.files.wordpress.com
2. Perhitungan cc. Simetri aksial. Diperoleh dari: calculo.cc
3. Superprof. Simetri aksial. Diperoleh dari: superprof.es
4. wikipedia. Simetri aksial. Diperoleh dari: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Simetri Melingkar. Diperoleh dari: en.wikipedia.com