SERI KEKUATAN: CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2024

Sebuah seri listrik terdiri dari penjumlahan istilah dalam bentuk kekuatan dari variabel x, atau lebih umum, dari xc, di mana c adalah bilangan real konstan. Dalam notasi penjumlahan serangkaian pangkat dinyatakan sebagai berikut:

Dimana koefisien a _o , a ₁ , a ₂ … adalah bilangan real dan deretnya dimulai pada n = 0.

Gambar 1. Definisi deret pangkat. Sumber: F. Zapata.

Deret ini berpusat pada nilai c yang konstan, tetapi Anda dapat memilih bahwa c sama dengan 0, dalam hal ini deret pangkat disederhanakan menjadi:

Rangkaian dimulai dengan a _atau (xc) ⁰ dan a _atau x ⁰ . Tapi kita tahu bahwa:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Oleh karena itu a _o (xc) ⁰ = a _atau x ⁰ = a _o ( _suku independen)

Hal yang baik tentang deret pangkat adalah fungsi dapat diekspresikan dengannya dan ini memiliki banyak keuntungan, terutama jika Anda ingin bekerja dengan fungsi yang rumit.

Jika demikian, daripada menggunakan fungsi secara langsung, gunakan ekspansi deret pangkatnya, yang bisa lebih mudah untuk diturunkan, diintegrasikan, atau bekerja secara numerik.

Tentu saja semuanya dikondisikan untuk konvergensi seri. Serangkaian menyatu saat menambahkan sejumlah besar suku memberikan nilai tetap. Dan jika kita menambahkan lebih banyak istilah lagi, kita terus mendapatkan nilai itu.

Berfungsi sebagai Power Series

Sebagai contoh dari fungsi yang dinyatakan sebagai deret pangkat, mari kita ambil f (x) = e ^x .

Fungsi ini dapat dinyatakan dalam rangkaian pangkat sebagai berikut:

dan ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Dimana! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… dan dibutuhkan 0! = 1.

Kami akan memeriksa dengan bantuan kalkulator, bahwa memang rangkaian tersebut bertepatan dengan fungsi yang diberikan secara eksplisit. Misalnya mari kita mulai dengan membuat x = 0.

Kita tahu bahwa e ⁰ = 1. Mari kita lihat fungsi deret:

dan ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

Dan sekarang mari kita coba x = 1. Sebuah kalkulator mengembalikan bahwa e ¹ = 2,71828, lalu mari bandingkan dengan deretnya:

dan ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Dengan hanya 5 suku kita sudah memiliki kecocokan persis di e ≈ 2.71. Rangkaian kami tinggal sedikit lagi, tetapi semakin banyak istilah yang ditambahkan, rangkaian pasti menyatu ke nilai yang tepat dari e. Representasinya tepat ketika n → ∞.

Jika analisis sebelumnya diulangi untuk n = 2, diperoleh hasil yang sangat mirip.

Dengan cara ini kita yakin bahwa fungsi eksponensial f (x) = e ^x dapat diwakili oleh rangkaian pangkat berikut :

Gambar 2. Dalam animasi ini kita dapat melihat bagaimana deret pangkat semakin mendekati fungsi eksponensial karena semakin banyak suku yang diambil. Sumber: Wikimedia Commons.

Deret geometris pangkat

Fungsi f (x) = e ^x bukanlah satu-satunya fungsi yang mendukung representasi deret pangkat. Misalnya, fungsi f (x) = 1/1 - x terlihat sangat mirip dengan deret geometri konvergen yang terkenal:

Cukup lakukan a = 1 dan r = x untuk mendapatkan deret yang sesuai untuk fungsi ini, yang berpusat pada c = 0:

Namun diketahui bahwa deret ini konvergen untuk │r│ <1, oleh karena itu representasi hanya valid pada interval (-1,1), walaupun fungsinya valid untuk semua x, kecuali x = 1.

Saat Anda ingin mendefinisikan fungsi ini dalam rentang lain, Anda cukup fokus pada nilai yang sesuai dan selesai.

Bagaimana menemukan rangkaian pangkat-pangkat suatu fungsi

Fungsi apa pun dapat dikembangkan dalam deret pangkat yang berpusat pada c, selama ia memiliki turunan dari semua orde pada x = c. Prosedurnya menggunakan teorema berikut, yang disebut teorema Taylor:

Misalkan f (x) adalah fungsi dengan turunan orde n, dilambangkan sebagai f ⁽ⁿ⁾ , yang mengakui serangkaian ekspansi pangkat pada interval I. Perkembangan serial Taylor adalah:

Yang seperti itu:

Di mana R _n , yang merupakan suku ke n dari deret, disebut sisa:

Jika c = 0, deret tersebut disebut deret Maclaurin.

Deret yang diberikan di sini identik dengan deret yang diberikan di awal, hanya saja sekarang kita punya cara untuk mencari koefisien setiap suku secara eksplisit, yang diberikan oleh:

Namun, kita harus memastikan bahwa rangkaian tersebut menyatu dengan fungsi yang akan direpresentasikan. Kebetulan tidak setiap deret Taylor harus konvergen ke f (x) yang ada dalam pikiran saat menghitung koefisien pada _n .

Hal ini terjadi karena mungkin turunan dari fungsi tersebut, yang dievaluasi pada x = c bertepatan dengan nilai yang sama dari turunan yang lain, juga pada x = c. Dalam hal ini koefisiennya akan sama, tetapi pengembangannya akan ambigu karena tidak pasti fungsi mana yang sesuai dengannya.

Untungnya ada cara untuk mengetahuinya:

Kriteria konvergensi

Untuk menghindari ambiguitas, jika R _n → 0 sebagai n → ∞ untuk semua x dalam interval I, deret tersebut konvergen ke f (x).

Olahraga

- Latihan diselesaikan 1

Temukan deret pangkat geometris untuk fungsi f (x) = 1/2 - x yang berpusat pada c = 0.

Larutan

Fungsi yang diberikan harus diekspresikan sedemikian rupa sehingga mendekati mungkin dengan 1 / 1- x, yang deretnya diketahui. Jadi mari kita tulis ulang pembilang dan penyebut, tanpa mengubah ekspresi aslinya:

1/2 - x = (1/2) /

Karena ½ konstan, maka keluar dari penjumlahan, dan ditulis dalam variabel baru x / 2:

Perhatikan bahwa x = 2 tidak termasuk dalam domain fungsi, dan menurut kriteria konvergensi yang diberikan di bagian Deret Daya Geometris, perluasan tersebut berlaku untuk │x / 2│ <1 atau setara -2 <x <2.

- Latihan diselesaikan 2

Temukan 5 suku pertama dari deret Maclaurin yang merupakan perluasan dari fungsinya f (x) = sin x.

Larutan

Langkah 1

Pertama adalah turunannya:

-Derivatif dari orde 0: fungsinya sama f (x) = sin x

-Derivatif pertama: (sin x) ´ = cos x

-Derivatif kedua: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Derivatif ketiga: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Derivatif keempat: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Langkah 2

Kemudian setiap turunan dievaluasi pada x = c, seperti juga ekspansi Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

LANGKAH 3

Koefisien a _{n dibangun} ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; a ₄ = 0/4! = 0

LANGKAH 4

Akhirnya seri dirakit menurut:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Apakah pembaca membutuhkan lebih banyak istilah? Berapa banyak lagi, deret lebih dekat ke fungsinya.

Perhatikan bahwa ada pola dalam koefisien, suku bukan nol berikutnya adalah ₅ dan semua yang memiliki indeks ganjil juga berbeda dari 0, mengganti tanda-tandanya, sehingga:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Hal ini dibiarkan sebagai latihan untuk memeriksa konvergensi, kriteria hasil bagi dapat digunakan untuk konvergensi seri.

Referensi

1. Yayasan CK-12. Power Series: representasi dari fungsi dan operasi. Diperoleh dari: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Kalkulus Integral. Universitas Nasional Litoral.
3. Larson, R. 2010. Perhitungan variabel. 9. Edisi. McGraw Hill.
4. Matematika Teks Gratis. Seri daya. Diperoleh dari: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Seri daya. Diperoleh dari: es.wikipedia.org.