PROPORSIONALITAS MAJEMUK: PENJELASAN, ATURAN GABUNGAN TIGA, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

The proporsionalitas komposit atau beberapa adalah rasio lebih dari dua besaran, yang dapat diamati secara langsung dan proporsionalitas terbalik antara data dan tidak diketahui. Ini adalah versi yang lebih maju dari proporsionalitas sederhana, meskipun teknik yang digunakan dalam kedua prosedur serupa.

Misalnya, jika dibutuhkan 7 orang untuk menurunkan 10 ton barang dagangan dalam 3 jam, proporsionalitas majemuk dapat digunakan untuk menghitung berapa banyak orang yang diperlukan untuk menurunkan 15 ton dalam 4 jam.

Sumber: pixabay.com

Untuk menjawab pertanyaan ini, akan lebih mudah membuat tabel nilai untuk dipelajari dan menghubungkan besaran dan yang tidak diketahui.

Kami melanjutkan untuk menganalisis jenis hubungan antara masing-masing besarnya dan yang tidak diketahui saat ini, yang untuk kasus ini sesuai dengan jumlah orang yang akan bekerja.

Seiring bertambahnya berat barang dagangan, begitu pula jumlah orang yang diminta untuk menurunkannya. Karena itu, hubungan antara bobot dan pekerja bersifat langsung.

Di sisi lain, seiring dengan bertambahnya jumlah pekerja, jam kerja pun menurun. Karena itu, hubungan antara orang dan jam kerja bersifat terbalik.

Bagaimana menghitung proporsionalitas majemuk

Untuk menyelesaikan contoh seperti di atas, aturan gabungan dari tiga metode banyak digunakan. Ini terdiri dari menetapkan jenis hubungan antara jumlah dan yang tidak diketahui dan kemudian merepresentasikan produk antar pecahan.

Sehubungan dengan contoh awal, pecahan yang sesuai dengan tabel nilai disusun sebagai berikut:

Tetapi sebelum menyelesaikan dan menyelesaikan yang tidak diketahui, pecahan yang sesuai dengan hubungan terbalik harus dibalik. Yang untuk kasus ini sesuai dengan variabel waktu. Dengan cara ini, operasi yang akan diselesaikan adalah:

Yang satu-satunya perbedaan adalah inversi pecahan yang sesuai dengan variabel waktu 4/3. Kami melanjutkan untuk mengoperasikan dan menghapus nilai x.

Dengan demikian, dibutuhkan lebih dari sebelas orang untuk dapat menurunkan 15 ton barang dagangan dalam waktu 4 jam atau kurang.

Penjelasan

Proporsionalitas adalah hubungan konstan antara besaran yang dapat berubah, yang akan menjadi simetris untuk setiap besaran yang terlibat. Ada hubungan proporsional langsung dan berbanding terbalik, sehingga mendefinisikan parameter proporsionalitas sederhana atau majemuk.

Aturan langsung tiga

Ini terdiri dari hubungan proporsi antar variabel, yang menunjukkan perilaku yang sama saat dimodifikasi. Hal ini sangat sering dalam perhitungan persentase yang mengacu pada besaran selain seratus, di mana struktur fundamentalnya dihargai.

Sebagai contoh, 15% dari 63 dapat dihitung, sekilas persentase ini tidak dapat dengan mudah dihargai. Tetapi dengan menerapkan aturan tiga, hubungan berikut dapat dibuat: jika 100% adalah 63, lalu 15%, berapa harganya?

100% ---- 63

15% ---– X

Dan operasi yang sesuai adalah:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Dimana tanda persentase disederhanakan dan diperoleh angka 9,45 yang mewakili 15% dari 63.

Aturan kebalikan dari tiga

Sesuai dengan namanya, dalam hal ini hubungan antar variabel adalah sebaliknya. Hubungan terbalik harus dibuat sebelum melanjutkan ke kalkulasi. Prosedurnya homolog dengan aturan langsung tiga, kecuali untuk investasi dalam pecahan yang akan dihitung.

Misalnya, 3 pelukis butuh waktu 5 jam untuk menyelesaikan sebuah tembok. Berapa jam 4 pelukis akan menyelesaikannya?

Dalam hal ini, hubungannya terbalik, karena dengan bertambahnya jumlah pelukis, waktu kerja akan berkurang. Hubungan terjalin;

3 pelukis - 5 jam

4 pelukis - X jam

Saat hubungan dibalik, urutan operasinya dibalik. Ini menjadi cara yang benar;

(3 pelukis). (5 jam) / 4 pelukis = 3,75 jam

Istilah pelukis disederhanakan, dan hasilnya 3,75 jam.

Kondisi

Untuk berada di hadapan suatu proporsionalitas majemuk atau berganda, perlu dicari kedua jenis hubungan antara besaran dan variabel.

- Langsung: Variabel memiliki perilaku yang sama dengan yang tidak diketahui. Artinya, ketika satu naik atau turun, yang lain diubah sama.

- Inverse: Variabel memiliki perilaku antonim dengan yang tidak diketahui. Pecahan yang mendefinisikan variabel tersebut dalam tabel nilai harus dibalik, untuk merepresentasikan hubungan proporsional terbalik antara variabel dan variabel yang tidak diketahui.

Verifikasi hasil

Sangat umum untuk mengacaukan urutan kuantitas saat bekerja dengan proporsionalitas majemuk, tidak seperti yang terjadi dalam perhitungan proporsi biasa, yang sifatnya sebagian besar langsung dan dapat dipecahkan dengan aturan sederhana tiga.

Untuk alasan ini, penting untuk memeriksa urutan logis dari hasil, memverifikasi koherensi angka yang dihasilkan oleh aturan gabungan tiga.

Pada contoh awal, membuat kesalahan seperti itu akan menghasilkan 20 sebagai hasilnya. Artinya, 20 orang membongkar 15 ton dagangan dalam 4 jam.

Pada pandangan pertama ini tidak tampak seperti hasil yang gila, tetapi anehnya peningkatan staf hampir 200% (dari 7 menjadi 20 orang) ketika peningkatan barang dagangan adalah 50%, dan bahkan dengan margin waktu yang lebih besar untuk melaksanakan pekerjaan.

Dengan demikian, verifikasi logis dari hasil merupakan langkah penting dalam menerapkan aturan gabungan tiga.

Izin

Meskipun lebih mendasar di alam sehubungan dengan pelatihan matematika, jarak merupakan langkah penting dalam kasus proporsionalitas. Izin yang salah cukup untuk membatalkan hasil apa pun yang diperoleh dalam aturan sederhana atau gabungan tiga.

Sejarah

Aturan tiga dikenal di Barat melalui orang Arab, dengan publikasi oleh berbagai penulis. Diantaranya Al-Jwarizmi dan Al-Biruni.

Al-Biruni, berkat pengetahuan multikulturalnya, memiliki akses ke informasi yang luas mengenai praktik ini dalam perjalanannya ke India, bertanggung jawab atas dokumentasi terluas tentang aturan tiga.

Dia menyatakan dalam penelitiannya bahwa India adalah tempat pertama di mana penggunaan aturan tiga menjadi umum. Penulis memastikan bahwa itu dilakukan dengan cara yang lancar dalam versi langsung, terbalik dan bahkan tersusun.

Tanggal pasti kapan aturan tiga menjadi bagian dari pengetahuan matematika India masih belum diketahui. Namun, dokumen tertua yang membahas praktik ini, manuskrip Bakhshali, ditemukan pada tahun 1881. Saat ini berada di Oxford.

Banyak sejarawan matematika menyatakan bahwa naskah ini berasal dari awal era sekarang.

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Sebuah maskapai penerbangan harus mengangkut 1.535 orang. Diketahui bahwa dengan 3 pesawat, dibutuhkan waktu 12 hari untuk membawa penumpang terakhir ke tujuan. 450 lebih orang telah tiba di maskapai dan 2 pesawat diperintahkan untuk diperbaiki untuk membantu tugas ini. Berapa hari yang dibutuhkan maskapai untuk mentransfer setiap penumpang terakhir ke tujuan mereka?

Hubungan antara jumlah orang dan hari kerja bersifat langsung, karena semakin banyak jumlah orang, semakin banyak hari yang dibutuhkan untuk melakukan pekerjaan ini.

Di sisi lain, hubungan antara pesawat dan hari berbanding terbalik. Dengan bertambahnya jumlah pesawat, hari-hari yang dibutuhkan untuk mengangkut semua penumpang berkurang.

Tabel nilai yang mengacu pada kasus ini dibuat.

Seperti yang dijelaskan pada contoh awal, pembilang dan penyebut harus dibalik dalam pecahan yang sesuai dengan variabel invers terhadap variabel yang tidak diketahui. Pengoperasiannya adalah sebagai berikut:

X = 71460/7675 = 9,31 hari

Untuk mentransfer 1985 orang menggunakan 5 pesawat, dibutuhkan waktu lebih dari 9 hari.

Latihan 2

Hasil panen jagung seberat 25 ton dibawa ke truk kargo. Diketahui bahwa tahun sebelumnya mereka membutuhkan waktu 8 jam dengan gaji 150 pekerja. Jika untuk tahun ini gaji meningkat 35%, berapa lama mereka akan mengisi truk kargo dengan panen 40 ton?

Sebelum menampilkan tabel nilai, jumlah pekerja untuk tahun ini harus ditentukan. Ini meningkat 35% dari angka awal 150 pekerja. Aturan langsung tiga digunakan untuk ini.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35.100) / 100 = 52,5. Ini adalah jumlah tambahan pekerja untuk tahun sebelumnya, diperoleh jumlah total 203 pekerja, setelah pembulatan jumlah yang diperoleh.

Kami melanjutkan untuk menentukan tabel data yang sesuai

Untuk kasus ini, bobot mewakili variabel yang terkait langsung dengan waktu yang tidak diketahui. Di sisi lain, variabel pekerja memiliki hubungan terbalik dengan waktu. Semakin banyak jumlah pekerja, semakin pendek hari kerja.

Dengan mempertimbangkan pertimbangan ini dan membalik pecahan yang sesuai dengan variabel pekerja, kami melanjutkan untuk menghitung.

X = 40600/6000 = 6,76 jam

Perjalanan akan memakan waktu kurang dari 7 jam.

Latihan yang diusulkan

- Tentukan 73% dari 2875.

- Hitung jumlah jam tidur Teresa, jika diketahui ia hanya tidur 7% dari total hari itu. Tentukan berapa jam Anda tidur dalam seminggu.

- Sebuah surat kabar menerbitkan 2000 eksemplar setiap 5 jam, hanya menggunakan 2 mesin cetak. Berapa copy yang akan dia hasilkan dalam 1 jam, jika dia menggunakan 7 mesin? Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menghasilkan 10.000 eksemplar dengan menggunakan 4 mesin?

Referensi

1. Ensiklopedia Alvarez-inisiasi. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Manual lengkap untuk instruksi dasar dan lebih tinggi: untuk digunakan calon guru dan terutama siswa Sekolah Normal Provinsi, Volume 1. Joaquín Avendaño. Pencetakan D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Pendekatan Rasional dari Fungsi Riil. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 Maret. 2011.
4. Aritmatika dasar untuk mengajar di sekolah dan perguruan tinggi di Amerika Tengah. Darío González. Tip. Arenales, 1926.
5. Studi Matematika: Pada studi dan kesulitan matematika. Augustus De Morgan. Baldwin dan Cradock, 1830.