KUNCI PROPERTI ALJABAR: BUKTI, CONTOH - MATEMATIKA - 2024

The properti kunci aljabar merupakan fenomena yang berhubungan dua elemen dari suatu himpunan dengan operasi, di mana kondisi yang diperlukan adalah bahwa, setelah 2 elemen diproses di bawah operasi mengatakan, hasilnya juga milik set awal.

Misalnya, jika bilangan genap diambil sebagai himpunan dan penjumlahan sebagai operasi, kita mendapatkan kunci himpunan tersebut sehubungan dengan penjumlahannya. Hal ini karena penjumlahan dari 2 bilangan genap akan selalu menghasilkan bilangan genap lainnya, sehingga memenuhi syarat kunci.

Sumber: unsplash.com

karakteristik

Ada banyak sifat yang menentukan ruang atau benda aljabar, seperti struktur atau cincin. Namun, properti gembok adalah salah satu yang paling dikenal dalam aljabar dasar.

Tidak semua aplikasi properti ini didasarkan pada elemen atau fenomena numerik. Banyak contoh sehari-hari dapat dikerjakan dari pendekatan aljabar-teoretis murni.

Contohnya bisa menjadi warga negara yang mengasumsikan hubungan hukum apa pun, seperti kemitraan komersial atau pernikahan antara lain. Setelah operasi atau pengelolaan ini dilakukan, mereka tetap menjadi warga negara negara tersebut. Dengan cara ini kewarganegaraan dan operasi manajemen sehubungan dengan dua warga negara mewakili sebuah kunci.

Aljabar numerik

Berkenaan dengan bilangan, ada banyak aspek yang telah menjadi subjek studi dalam berbagai arus matematika dan aljabar. Sejumlah besar aksioma dan teorema telah muncul dari studi ini yang berfungsi sebagai dasar teoretis untuk penelitian dan pekerjaan kontemporer.

Jika kita bekerja dengan himpunan numerik kita dapat menetapkan definisi lain yang valid untuk properti kunci. Himpunan A dikatakan sebagai kunci dari himpunan B lainnya jika A adalah himpunan terkecil yang berisi semua himpunan dan operasi yang dimiliki B.

Demonstrasi

Bukti kunci diterapkan untuk elemen dan operasi yang ada dalam himpunan bilangan real R.

Misalkan A dan B adalah dua angka yang termasuk dalam himpunan R, penutupan elemen-elemen ini ditentukan untuk setiap operasi yang terdapat dalam R.

Jumlah

- Jumlah: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Ini adalah cara aljabar untuk mengatakan bahwa Untuk semua A dan B yang termasuk bilangan real, kita mendapatkan bahwa jumlah dari A ditambah B sama dengan C, yang juga termasuk bilangan real.

Mudah untuk memeriksa apakah proposisi ini benar; itu cukup untuk melakukan penjumlahan antara bilangan real dan memverifikasi apakah hasilnya juga termasuk bilangan real.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Hal ini diamati bahwa kondisi kunci terpenuhi untuk bilangan real dan penjumlahan. Dengan cara ini dapat disimpulkan: Jumlah bilangan real adalah kunci aljabar.

Perkalian

- Perkalian: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Untuk semua A dan B yang termasuk dalam real, kita mendapatkan bahwa perkalian A dengan B sama dengan C, yang juga termasuk dalam real.

Saat memverifikasi dengan elemen yang sama dari contoh sebelumnya, hasil berikut diamati.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Ini adalah bukti yang cukup untuk menyimpulkan bahwa: Perkalian bilangan real merupakan kunci aljabar.

Definisi ini dapat diperluas ke semua operasi bilangan real, meskipun kita akan menemukan pengecualian tertentu.

Sumber: pixabay.com

Kasus khusus di R

Divisi

Kasus khusus pertama adalah divisi, di mana pengecualian berikut terlihat:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Untuk semua A dan B milik R kita memiliki bahwa A di antara B tidak termasuk real jika dan hanya jika B sama dengan nol.

Kasus ini mengacu pada batasan tidak bisa membagi dengan nol. Karena nol termasuk bilangan real, maka berikut ini: pembagian bukanlah kunci real.

Pengarsipan

Ada juga operasi potensiasi, lebih khusus lagi radikalisasi, di mana pengecualian disajikan untuk kekuatan radikal indeks genap:

Untuk semua A yang termasuk real, akar ke-n dari A milik real, jika dan hanya jika A milik real positif bergabung ke himpunan yang satu-satunya elemen adalah nol.

Dengan cara ini dilambangkan bahwa akar genap hanya berlaku untuk real positif dan disimpulkan bahwa potensiasi bukanlah kunci di R.

Logaritma

Secara homolog dapat dilihat fungsi logaritmiknya yang tidak didefinisikan untuk nilai yang kurang dari atau sama dengan nol. Untuk memeriksa apakah logaritma adalah kunci dari R, lakukan sebagai berikut:

Untuk semua A yang termasuk real, logaritma A milik real, jika dan hanya jika A milik real positif.

Dengan mengecualikan nilai negatif dan nol yang juga termasuk dalam R dapat dinyatakan bahwa:

Logaritma bukanlah kunci dari bilangan real.

Contoh

Periksa kunci untuk penambahan dan pengurangan bilangan asli:

Jumlah dalam N

Hal pertama adalah memeriksa kondisi penguncian untuk berbagai elemen dari himpunan yang diberikan, di mana jika diamati bahwa beberapa elemen rusak dengan kondisi tersebut, keberadaan kunci dapat secara otomatis ditolak.

Properti ini benar untuk semua kemungkinan nilai A dan B, seperti yang terlihat dalam operasi berikut:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Tidak ada nilai natural yang merusak kondisi kunci, sehingga disimpulkan:

Jumlahnya adalah kunci di N.

Kurangi N

Unsur-unsur alam yang mampu mendobrak kondisi dicari; A - B milik pribumi.

Pengoperasiannya mudah untuk menemukan pasangan elemen alam yang tidak memenuhi kondisi kunci. Sebagai contoh:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Dengan cara ini kita dapat menyimpulkan bahwa:

Pengurangan bukanlah kunci pada himpunan bilangan asli.

Latihan yang diusulkan

1-Tunjukkan jika properti kunci terpenuhi untuk himpunan bilangan rasional Q, untuk operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

2-Jelaskan jika himpunan bilangan real adalah kunci dari himpunan bilangan bulat.

3-Tentukan himpunan numerik mana yang dapat menjadi kunci bilangan real.

4-Buktikan sifat kunci untuk himpunan bilangan imajiner, mengenai penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Referensi

1. Panorama matematika murni: pilihan Bourbakist. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Teori bilangan aljabar. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Universitas Otonomi Nasional Meksiko, 1975.
3. Aljabar Linier dan Aplikasinya. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Struktur aljabar V: teori tubuh. Hector A. Merklen. Organisasi Negara-negara Amerika, Sekretariat Jenderal, 1979.
5. Pengantar aljabar komutatif. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.