PROBABILITAS BERSYARAT: RUMUS DAN PERSAMAAN, PROPERTI, CONTOH - DUDAS

The probabilitas bersyarat adalah kemungkinan terjadinya peristiwa tertentu, mengingat bahwa lain terjadi sebagai suatu kondisi. Informasi tambahan ini mungkin (atau mungkin tidak) mengubah persepsi bahwa sesuatu akan terjadi.

Misalnya, kita bisa bertanya pada diri sendiri: "Berapa probabilitas hujan akan turun hari ini, mengingat tidak turun hujan selama dua hari?" Peristiwa yang kami ingin ketahui probabilitasnya adalah bahwa hari ini hujan, dan informasi tambahan yang akan mengkondisikan jawabannya adalah bahwa "tidak hujan selama dua hari."

Gambar 1. Probabilitas turun hujan hari ini karena kemarin turun hujan juga merupakan contoh probabilitas bersyarat. Sumber: Pixabay.

Biarkan ruang probabilitas terdiri dari Ω (ruang sampel), ℬ (peristiwa acak) dan P (probabilitas setiap peristiwa), ditambah peristiwa A dan B yang dimiliki ℬ.

Probabilitas bersyarat bahwa A terjadi, mengingat B terjadi, yang dilambangkan sebagai P (A│B), didefinisikan sebagai berikut:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A dan B) / P (B)

Dimana: P (A) adalah probabilitas terjadinya A, P (B) adalah probabilitas kejadian B dan berbeda dari 0, dan P (A∩B) adalah probabilitas perpotongan antara A dan B, yaitu, , probabilitas bahwa kedua peristiwa tersebut terjadi (probabilitas gabungan).

Ini adalah ungkapan untuk teorema Bayes yang diterapkan pada dua peristiwa, yang diusulkan pada tahun 1763 oleh teolog dan matematikawan Inggris Thomas Bayes.

Properti

-Semua probabilitas bersyarat antara 0 dan 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Kemungkinan terjadinya peristiwa A, mengingat peristiwa tersebut terjadi, jelas 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Jika dua peristiwa eksklusif, yaitu peristiwa yang tidak bisa terjadi secara bersamaan, maka probabilitas bersyarat salah satunya terjadi adalah 0, karena perpotongannya nol:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Jika B adalah himpunan bagian dari A, probabilitas bersyaratnya juga 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Penting

P (A│B) umumnya tidak sama dengan P (B│A), oleh karena itu kita harus berhati-hati untuk tidak menukar peristiwa saat mencari probabilitas bersyarat.

Aturan umum perkalian

Sering kali Anda ingin mencari probabilitas gabungan P (A∩B), bukan probabilitas bersyarat. Kemudian, melalui teorema berikut kami memiliki:

P (A∩B) = P (A dan B) = P (A│B). P (B)

Teorema dapat diperpanjang untuk tiga peristiwa A, B dan C:

P (A∩B∩C) = P (A dan B dan C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Dan juga untuk berbagai event seperti A ₁ , A ₂ , A ₃ dan lainnya dapat diungkapkan sebagai berikut:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Jika kejadiannya terjadi secara berurutan dan melalui tahapan yang berbeda, akan lebih mudah untuk mengatur data dalam diagram atau tabel. Ini membuatnya lebih mudah untuk memvisualisasikan opsi untuk mencapai probabilitas yang diminta.

Contohnya adalah diagram pohon dan tabel kontingensi. Dari salah satunya, Anda dapat membangun yang lain.

Contoh probabilitas bersyarat

Mari kita lihat beberapa situasi di mana probabilitas dari satu peristiwa diubah oleh kemunculan peristiwa lainnya:

- Contoh 1

Ada dua jenis kue yang dijual di toko makanan manis: stroberi dan cokelat. Dengan mendaftarkan preferensi 50 klien dari kedua jenis kelamin, nilai-nilai berikut ditentukan:

-27 wanita, 11 di antaranya lebih menyukai kue stroberi dan 16 cokelat.

-23 pria: 15 pilih coklat dan 8 strawberry.

Probabilitas pelanggan memilih kue coklat dapat ditentukan dengan menerapkan aturan Laplace, yang menurutnya probabilitas dari setiap peristiwa adalah:

P = jumlah acara yang disukai / jumlah total acara

Dalam kasus ini, dari 50 pelanggan, total 31 lebih memilih coklat, jadi kemungkinannya adalah P = 31/50 = 0,62. Artinya, 62% pelanggan lebih menyukai kue coklat.

Tapi apakah berbeda jika kliennya perempuan? Ini adalah kasus probabilitas bersyarat.

Tabel kontingensi

Dengan menggunakan tabel kontingensi seperti ini, totalnya mudah ditampilkan:

Kemudian kasus-kasus yang menguntungkan diamati dan aturan Laplace diterapkan, tetapi pertama-tama kita mendefinisikan peristiwa-peristiwa tersebut:

-B adalah acara "pelanggan wanita".

-A adalah acara "prefer chocolate cake" sebagai wanita.

Kami pergi ke kolom berlabel "wanita" dan di sana kami melihat bahwa totalnya adalah 27.

Kemudian kasus yang menguntungkan dicari di baris "cokelat". Ada 16 kejadian tersebut, oleh karena itu probabilitas yang dicari adalah langsung:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59.24% pelanggan wanita lebih menyukai kue coklat.

Nilai ini cocok ketika kita membandingkannya dengan definisi probabilitas bersyarat yang diberikan pada awalnya:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Kami memastikan menggunakan aturan Laplace dan nilai tabel:

P (B) = 27/50

P (A dan B) = 16/50

Dimana P (A dan B) adalah probabilitas bahwa pelanggan lebih menyukai coklat dan merupakan seorang wanita. Sekarang nilainya diganti:

P (A│B) = P (A dan B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

Dan terbukti hasilnya sama.

- Contoh 2

Dalam contoh ini berlaku aturan perkalian. Misalkan ada celana dalam tiga ukuran yang dipajang di sebuah toko: kecil, sedang, dan besar.

Dalam lot dengan total 24 celana, yang masing-masing terdiri dari 8 ukuran dan semuanya dicampur, berapa probabilitas untuk mengekstraksi dua di antaranya dan keduanya kecil?

Jelas bahwa kemungkinan melepas celana kecil pada percobaan pertama adalah 8/24 = 1/3. Sekarang, pencabutan kedua tergantung pada kejadian pertama, karena saat melepas celana, tidak ada lagi 24, tapi 23. Dan jika celana kecil dilepas, ada 7 bukan 8.

Acara A menarik satu celana kecil, setelah menarik satu lagi pada percobaan pertama. Dan acara B adalah acara dengan celana kecil pertama kali. Jadi:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Terakhir, gunakan aturan perkalian:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Latihan diselesaikan

Dalam studi tentang ketepatan waktu pada penerbangan udara komersial, tersedia data berikut:

-P (B) = 0.83, adalah probabilitas pesawat lepas landas tepat waktu.

-P (A) = 0.81, adalah kemungkinan mendarat tepat waktu.

-P (B∩A) = 0,78 adalah probabilitas bahwa penerbangan tiba tepat waktu lepas landas tepat waktu.

Itu diminta untuk menghitung:

a) Berapa probabilitas bahwa pesawat akan mendarat tepat waktu jika lepas landas tepat waktu?

b) Apakah probabilitas di atas sama dengan probabilitas yang Anda tinggalkan tepat waktu jika berhasil mendarat tepat waktu?

c) Dan terakhir: berapakah probabilitas bahwa ia akan tiba tepat waktu mengingat ia tidak berangkat tepat waktu?

Gambar 2. Ketepatan waktu dalam penerbangan komersial itu penting, karena penundaan menghasilkan kerugian jutaan dolar. Sumber: Pixabay.

Solusi untuk

Untuk menjawab pertanyaan tersebut digunakan definisi probabilitas bersyarat:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A dan B) / P (B) = 0,78 /0,83 = 0,9398

Solusi b

Dalam hal ini peristiwa dalam definisi dipertukarkan:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A dan B) / P (A) = 0,78 /0,81 = 0,9630

Perhatikan bahwa probabilitas ini sedikit berbeda dari yang sebelumnya, seperti yang kami tunjukkan sebelumnya.

Solusi c

Kemungkinan tidak berangkat tepat waktu adalah 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, kita akan menyebutnya P (B ^C ), karena ini adalah acara pelengkap untuk lepas landas tepat waktu. Probabilitas bersyarat yang dicari adalah:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A dan B ^C ) / P (B ^C )

Di samping itu:

P (A∩B ^C ) = P (mendarat tepat waktu) - P (mendarat tepat waktu dan lepas landas tepat waktu) = 0,81-0,78 = 0,03

Dalam hal ini probabilitas bersyarat yang dicari adalah:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Referensi

Canavos, G. 1988. Probabilitas dan Statistik: Aplikasi dan metode. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Probabilitas dan Statistik untuk Teknik dan Sains. 8. Edisi. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Seri Schaum: Probabilitas. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teori probabilitas. Limusa Editorial.
Walpole, R. 2007. Probabilitas dan Statistik untuk Teknik dan Sains. Pearson.
Wikipedia. Probabilitas bersyarat. Diperoleh dari: es.wikipedia.org.

PROBABILITAS BERSYARAT: RUMUS DAN PERSAMAAN, PROPERTI, CONTOH - DUDAS - 2026