PERMUTASI TANPA PENGULANGAN: RUMUS, BUKTI, LATIHAN, CONTOH - DUDAS - 2026

Sebuah permutasi tanpa pengulangan dari elemen n adalah kelompok yang berbeda dari unsur-unsur yang berbeda yang dapat diperoleh dari tidak mengulangi setiap elemen, hanya memvariasikan urutan penempatan elemen.

Untuk mengetahui jumlah permutasi tanpa pengulangan digunakan rumus sebagai berikut:

Pn = n!

Yang diperluas adalah Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Jadi pada contoh praktis sebelumnya akan diterapkan sebagai berikut:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 angka 4 digit yang berbeda.

Ini menjadi total 24 array: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Seperti yang bisa dilihat, tidak ada pengulangan dalam hal apapun, menjadi 24 nomor berbeda.

Demo dan rumus

24 Susunan 4 gambar berbeda

Kita akan menganalisa lebih spesifik contoh dari 24 susunan 4 digit berbeda yang dapat dibentuk dengan digit angka 2468. Jumlah susunan (24) dapat diketahui sebagai berikut:

Anda memiliki 4 opsi untuk memilih digit pertama, yang menyisakan 3 opsi untuk memilih digit kedua. Dua digit telah diatur dan 2 pilihan tersisa untuk memilih digit ketiga. Digit terakhir hanya memiliki satu pilihan.

Oleh karena itu, jumlah permutasi, dilambangkan dengan P4, diperoleh dari produk dari opsi pemilihan di setiap posisi:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 angka 4 digit yang berbeda

Secara umum, jumlah permutasi atau pengaturan berbeda yang dapat dilakukan dengan semua n elemen dari himpunan tertentu adalah:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Ekspresi n! Ini dikenal sebagai n faktorial dan berarti hasil kali dari semua bilangan asli yang terletak di antara bilangan n dan bilangan satu, termasuk keduanya.

12 Susunan 2 gambar berbeda

Sekarang misalkan Anda ingin mengetahui bilangan permutasi atau bilangan dua digit yang dapat dibentuk dengan digit bilangan tersebut 2468.

Ini akan menjadi total 12 pengaturan: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Anda memiliki 4 opsi untuk memilih digit pertama, yang tersisa 3 digit untuk memilih digit kedua. Oleh karena itu, jumlah permutasi dari 4 digit yang diambil dua per dua, dilambangkan dengan 4P2, diperoleh dari produk opsi pemilihan di setiap posisi:

4P2 = 4 * 3 = 12 angka 2 digit yang berbeda

Secara umum, jumlah permutasi atau pengaturan berbeda yang dapat dilakukan dengan elemen r dari n secara total dalam himpunan tertentu adalah:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

Ekspresi di atas dipotong sebelum memainkan n!. Untuk menyelesaikan n! dari situ kita harus menulis:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Faktor-faktor yang kita tambahkan, selanjutnya, mewakili sebuah faktorial:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Jadi,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Dari sini

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Contoh

Contoh 1

Berapa banyak kombinasi huruf 5 huruf yang berbeda yang dapat dibuat dengan huruf dari kata KEY?

Kami ingin menemukan jumlah kombinasi huruf yang berbeda dari 5 huruf yang dapat dibangun dengan 5 huruf dari kata KEY; yaitu, jumlah larik 5 huruf yang melibatkan semua huruf yang tersedia di kata KEY.

N ° dari 5 kata huruf = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 kombinasi 5 huruf yang berbeda.

Ini akan menjadi: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… hingga total 120 kombinasi huruf yang berbeda.

Contoh 2

Anda memiliki 15 bola bernomor dan Anda ingin tahu Berapa banyak kelompok 3 bola berbeda yang dapat dibuat dengan 15 bola bernomor?

Anda ingin mencari jumlah kelompok 3 bola yang dapat dibuat dengan 15 bola bernomor.

N ° kelompok 3 bola = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N ° kelompok 3 bola = 15 * 14 * 13 = 2730 kelompok 3 bola

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Toko buah memiliki stand pameran yang terdiri dari deretan kompartemen yang terletak di aula masuk ke tempat. Dalam satu hari, penjual sayur memperoleh untuk dijual: jeruk, pisang, nanas, pir, dan apel.

a) Berapa banyak cara yang Anda miliki untuk memesan stan pameran?

b) Berapa banyak cara yang Anda miliki untuk memesan stan jika, selain buah-buahan yang disebutkan (5), Anda menerima pada hari itu: mangga, persik, stroberi dan anggur (4)?

a) Kami ingin menemukan sejumlah cara berbeda untuk memesan semua buah di baris tampilan; Artinya, jumlah susunan 5 item buah yang melibatkan semua buah yang tersedia untuk dijual pada hari itu.

N ° pengaturan tegakan = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° pengaturan dudukan = 120 cara untuk menyajikan dudukan

b) Kami ingin menemukan jumlah cara berbeda untuk memesan semua buah di baris tampilan jika 4 item tambahan ditambahkan; Artinya, jumlah pengaturan 9 item buah yang melibatkan semua buah yang tersedia untuk dijual pada hari itu.

N ° pengaturan tegakan = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° susunan tegakan = 362.880 cara menyajikan dudukan

Latihan 2

Outlet makanan kecil memiliki sebidang tanah dengan cukup ruang untuk memarkir 6 kendaraan.

a) Berapa banyak cara berbeda untuk memesan kendaraan di lahan yang dapat dipilih?

b) Misalkan diperoleh sebidang tanah yang berdekatan yang dimensinya memungkinkan 10 kendaraan diparkir Berapa banyak bentuk penataan kendaraan yang berbeda yang dapat dipilih sekarang?

a) Kami ingin menemukan sejumlah cara berbeda untuk memesan 6 kendaraan yang dapat ditampung di sebidang tanah.

Jumlah pengaturan 6 kendaraan = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° pengaturan 6 kendaraan = 720 cara berbeda untuk memesan 6 kendaraan di lot.

b) Kami ingin menemukan sejumlah cara berbeda untuk memesan 10 kendaraan yang dapat ditempatkan di sebidang tanah setelah perluasan sebidang tanah.

N ° pengaturan dari 10 kendaraan = P10 = 10!

Jumlah pengaturan kendaraan = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Jumlah penataan 10 kendaraan = 3.628.800 cara pemesanan 10 kendaraan di sebidang tanah.

Latihan 3

Seorang penjual bunga memiliki bunga dengan 6 warna berbeda untuk membuat bendera bunga bangsa yang hanya memiliki 3 warna. Jika diketahui bahwa urutan warna itu penting pada bendera,

a) Berapa banyak bendera berbeda dari 3 warna yang dapat dibuat dengan 6 warna yang tersedia?

b) Penjual membeli bunga dengan 2 warna tambahan dari 6 warna yang sudah dimilikinya, sekarang berapa banyak bendera 3 warna berbeda yang dapat dibuat?

c) Karena Anda memiliki 8 warna, Anda memutuskan untuk memperluas jangkauan bendera Anda Berapa banyak bendera 4 warna berbeda yang dapat Anda buat?

d) Berapa dari 2 warna?

a) Kami ingin menemukan jumlah bendera berbeda dari 3 warna yang dapat dibuat dengan memilih dari 6 warna yang tersedia.

N ° dari bendera 3 warna = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° dari bendera 3 warna = 6 * 5 * 4 = 120 bendera

b) Anda ingin menemukan jumlah bendera berbeda dari 3 warna yang dapat dibuat dengan memilih dari 8 warna yang tersedia.

N ° dari bendera 3 warna = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° dari bendera 3 warna = 8 * 7 * 6 = 336 bendera

c) Jumlah bendera 4 warna berbeda yang dapat dibuat dengan memilih dari 8 warna yang tersedia harus dihitung.

Jumlah bendera 4 warna = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Jumlah bendera 4 warna = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 bendera

d) Anda ingin menentukan jumlah bendera 2 warna berbeda yang dapat dibuat dengan memilih dari 8 warna yang tersedia.

N ° dari bendera 2 warna = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Jumlah bendera 2 warna = 8 * 7 = 56 bendera

Referensi

1. Boada, A. (2017). Penggunaan permutasi dengan pengulangan sebagai pengajaran eksperimen. Majalah Vivat Academia. Dipulihkan dari researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Probabilitas dan statistik. Aplikasi dan metode. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Kaca, G.; Stanley, J. (1996). Metode statistik tidak diterapkan pada ilmu sosial. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistik. Edisi keempat. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ya, Ka. (2007). Probabilitas & Statistik untuk insinyur & ilmuwan. Edisi kedelapan. Balai Prentice Internasional Pendidikan Pearson.
6. Webster, A. (2000). Statistik diterapkan pada bisnis dan ekonomi. Edisi ketiga. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutasi. Dipulihkan dari en.wikipedia.org.