Metode kuadrat terkecil adalah salah satu aplikasi terpenting dalam pendekatan fungsi. Idenya adalah untuk menemukan kurva sedemikian rupa sehingga, mengingat satu set pasangan terurut, fungsi ini paling mendekati data. Fungsinya bisa berupa garis, kurva kuadrat, kubik, dll.
Ide dari metode ini terdiri dari meminimalkan jumlah kuadrat dari perbedaan ordinat (komponen Y), antara titik yang dihasilkan oleh fungsi yang dipilih dan titik yang termasuk dalam kumpulan data.
Metode kuadrat terkecil
Sebelum memberikan metode, pertama-tama kita harus memahami dengan jelas apa artinya “pendekatan yang lebih baik”. Misalkan kita mencari garis y = b + mx yang paling mewakili himpunan n titik, yaitu {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.
Seperti yang ditunjukkan pada gambar sebelumnya, jika variabel x dan y terkait dengan garis y = b + mx, maka untuk x = x1 nilai y yang sesuai adalah b + mx1. Namun, nilai ini berbeda dengan nilai sebenarnya dari y yaitu y = y1.
Ingatlah bahwa di dalam bidang, jarak antara dua titik ditentukan dengan rumus berikut:
Dengan pemikiran ini, untuk menentukan cara memilih garis y = b + mx yang paling mendekati data yang diberikan, tampaknya logis untuk menggunakan sebagai kriteria pemilihan garis yang meminimalkan jumlah kuadrat jarak antar titik dan lurus.
Karena jarak antara titik (x1, y1) dan (x1, b + mx1) adalah y1- (b + mx1), masalah kita berkurang menjadi mencari bilangan m dan b sehingga jumlah berikut minimal:
Garis yang memenuhi syarat ini dikenal sebagai «perkiraan garis kuadrat terkecil ke titik (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)».
Setelah masalah diperoleh, tinggal memilih metode untuk menemukan perkiraan kuadrat terkecil. Jika titik-titik (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) semuanya berada pada garis y = mx + b, kita akan mendapatkan bahwa mereka collinear y:
Dalam ungkapan ini:
Akhirnya, jika titik-titiknya tidak collinear, maka y-Au = 0 dan soal dapat diterjemahkan ke dalam mencari vektor u sedemikian rupa sehingga norma Euclidean minimal.
Menemukan vektor meminimalkan u tidaklah sesulit yang Anda bayangkan. Karena A adalah matriks nx2 dan u adalah matriks 2 × 1, kita mendapatkan bahwa vektor Au adalah vektor di R n dan termasuk dalam bayangan A, yang merupakan subruang dari R n dengan dimensi tidak lebih dari dua.
Kami akan mengasumsikan bahwa n = 3 untuk menunjukkan prosedur mana yang harus diikuti. Jika n = 3, bayangan A akan menjadi bidang atau garis yang melalui titik asal.
Misalkan v menjadi vektor meminimalkan. Pada gambar tersebut kita amati bahwa y-Au diminimalkan jika ortogonal terhadap citra A. Yaitu, jika v adalah vektor minimalisasi, maka terjadi:
Kemudian, kita bisa mengungkapkan hal di atas dengan cara ini:
Ini hanya dapat terjadi jika:
Akhirnya, menyelesaikan v, kita memiliki:
Hal ini dimungkinkan untuk melakukan ini karena A t A dapat dibalik selama n poin yang diberikan karena data tidak collinear.
Sekarang, jika alih-alih mencari garis, kita ingin menemukan parabola (yang ekspresinya berbentuk y = a + bx + cx 2 ) yang akan menjadi pendekatan yang lebih baik untuk n titik data, prosedurnya akan seperti dijelaskan di bawah ini.
Jika n titik data ada di parabola ini, kita akan memiliki:
Kemudian:
Demikian pula kita dapat menulis y = Au. Jika semua titik tidak berada dalam parabola, kita mendapatkan bahwa y-Au berbeda dari nol untuk setiap vektor u dan masalah kita lagi: temukan vektor u di R3 sehingga normanya --y-Au-- sekecil mungkin .
Mengulangi prosedur sebelumnya, kita bisa sampai pada vektor yang dicari adalah:
Latihan terselesaikan
Latihan 1
Temukan garis yang paling sesuai dengan titik (1,4), (-2,5), (3, -1) dan (4,1).
Larutan
Kita harus:
Kemudian:
Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa garis yang paling sesuai dengan poin diberikan oleh:
Latihan 2
Misalkan sebuah benda jatuh dari ketinggian 200 m. Saat jatuh, langkah-langkah berikut diambil:
Kita tahu bahwa ketinggian benda tersebut, setelah waktu t berlalu, diberikan oleh:
Jika kita ingin mendapatkan nilai g, kita dapat menemukan parabola yang merupakan pendekatan yang lebih baik untuk lima poin yang diberikan dalam tabel, dan dengan demikian kita akan mendapatkan bahwa koefisien yang menyertai t 2 akan menjadi pendekatan yang masuk akal untuk (-1/2) g jika pengukuran akurat.
Kita harus:
Dan nanti:
Jadi poin data cocok dengan ekspresi kuadrat berikut:
Jadi, Anda harus:
Ini adalah nilai yang cukup mendekati benar, yaitu g = 9,81 m / s 2 . Untuk mendapatkan perkiraan g yang lebih tepat, perlu dimulai dari pengamatan yang lebih tepat.
Untuk apa ini?
Dalam masalah yang terjadi dalam ilmu alam atau ilmu sosial, akan lebih mudah untuk menuliskan hubungan yang ada antara variabel yang berbeda dengan menggunakan beberapa ekspresi matematika.
Misalnya, dalam ilmu ekonomi kita dapat menghubungkan biaya (C), pendapatan (I), dan keuntungan (U) dengan menggunakan rumus sederhana:
Dalam ilmu fisika, kita dapat menghubungkan percepatan yang disebabkan oleh gravitasi, waktu benda jatuh, dan ketinggian benda menurut hukum:
Pada persamaan sebelumnya s o adalah tinggi awal benda tersebut dan v o adalah kecepatan awalnya.
Namun, menemukan rumus seperti ini bukanlah tugas yang mudah; biasanya terserah profesional yang bertugas untuk bekerja dengan banyak data dan berulang kali melakukan beberapa eksperimen (untuk memverifikasi bahwa hasil yang diperoleh konstan) untuk menemukan hubungan antara data yang berbeda.
Cara umum untuk mencapai ini adalah dengan merepresentasikan data yang diperoleh dalam bidang sebagai titik dan mencari fungsi berkelanjutan yang mendekati titik-titik tersebut secara optimal.
Salah satu cara untuk menemukan fungsi yang "paling mendekati" data yang diberikan adalah dengan metode kuadrat terkecil.
Selain itu, seperti yang juga kita lihat dalam latihan, berkat metode ini kita bisa mendapatkan perkiraan yang cukup dekat dengan konstanta fisik.
Referensi
- Aljabar Linear Charles W Curtis. Springer-Velarg
- Kai Lai Chung. Teori Proabilitas Dasar dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
- Richar L Burden & J. Douglas Faires. Analisis Numerik (7ed). Pembelajaran Thompson.
- Stanley I. Grossman. Penerapan Aljabar Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossman. Aljabar linier. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO