ALJABAR BOOLEAN: SEJARAH, TEOREMA DAN POSTULAT, CONTOH - MATEMATIKA - 2025

The aljabar Boolean atau aljabar Boolean adalah notasi aljabar yang digunakan untuk pengobatan variabel biner. Ini mencakup studi tentang variabel apa pun yang hanya memiliki 2 kemungkinan hasil, saling melengkapi dan saling eksklusif. Misalnya, variabel yang satu-satunya kemungkinan benar atau salah, benar atau salah, aktif atau tidak aktif adalah dasar dari studi aljabar Boolean.

Aljabar Boolean merupakan dasar dari elektronika digital, yang membuatnya cukup hadir saat ini. Ini diatur oleh konsep gerbang logika, di mana operasi yang diketahui dalam aljabar tradisional sangat terpengaruh.

Sumber: pexels.com

Sejarah

Aljabar Boolean diperkenalkan pada tahun 1854 oleh matematikawan Inggris George Boole (1815 - 1864), yang merupakan sarjana otodidak pada saat itu. Kekhawatirannya muncul dari perselisihan yang ada antara Augustus De Morgan dan William Hamilton, tentang parameter yang menentukan sistem logis ini.

George Boole berpendapat bahwa definisi nilai numerik 0 dan 1 sesuai, dalam bidang logika, dengan interpretasi Nothing dan Universe.

Maksud George Boole adalah untuk mendefinisikan, melalui sifat-sifat aljabar, ekspresi logika proposisional yang diperlukan untuk menangani variabel tipe biner.

Pada tahun 1854, bagian terpenting dari aljabar Boolean diterbitkan dalam buku "Penyelidikan hukum pemikiran yang menjadi dasar teori matematika logika dan probabilitas."

Judul aneh ini kemudian diringkas sebagai "Hukum pikiran" ("Hukum pikiran"). Judul menjadi terkenal karena perhatian langsung yang diterimanya dari komunitas matematika saat itu.

Pada tahun 1948 Claude Shannon menerapkannya pada desain rangkaian sakelar listrik bistable. Ini berfungsi sebagai pengantar penerapan aljabar Boolean dalam seluruh skema elektronik-digital.

Struktur

Nilai dasar dalam jenis aljabar ini adalah 0 dan 1, yang masing-masing berhubungan dengan FALSE dan TRUE. Operasi dasar dalam aljabar Boolean adalah 3:

- Operasi DAN atau hubungannya. Diwakili oleh titik (.). Sinonim dari produk.

- ATAU operasi atau disjungsi. Diwakili oleh tanda silang (+). Sinonim dari penjumlahan.

- BUKAN operasi atau negasi. Diwakili oleh awalan NOT (NOT A). Itu juga dikenal sebagai pelengkap.

Jika dalam himpunan A 2 hukum komposisi internal didefinisikan dilambangkan sebagai perkalian dan penjumlahan (. +), Dikatakan bahwa rangkap tiga (A. +) adalah aljabar Boolean jika dan hanya jika rangkap tiga tersebut memenuhi syarat sebagai kisi distributif.

Untuk menentukan kisi distributif, kondisi distribusi harus dipenuhi antara operasi yang diberikan:

. bersifat distributif terhadap penjumlahan + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ bersifat distributif sehubungan dengan produk. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Unsur-unsur yang menyusun himpunan A harus biner, sehingga memiliki nilai alam semesta atau kosong.

Aplikasi

Skenario aplikasi utamanya adalah cabang digital, yang berfungsi untuk menyusun sirkuit yang membentuk operasi logis yang terlibat. Seni kesederhanaan rangkaian untuk mengoptimalkan proses adalah hasil dari penerapan dan praktik aljabar Boolean yang benar.

Dari penjabaran panel listrik, melewati transmisi data, hingga mencapai pemrograman dalam berbagai bahasa, kita sering dapat menemukan aljabar Boolean di semua jenis aplikasi digital.

Variabel Boolean sangat umum dalam struktur pemrograman. Bergantung pada bahasa pemrograman yang digunakan, akan ada operasi struktural dalam kode yang menggunakan variabel ini. Kondisional dan argumen setiap bahasa menerima variabel Boolean untuk menentukan proses.

Postulat

Ada teorema yang mengatur hukum logika struktural aljabar Boolean. Dengan cara yang sama, ada dalil untuk mengetahui kemungkinan hasil dalam kombinasi variabel biner yang berbeda, tergantung pada operasi yang dilakukan.

Jumlah (+)

Operator OR yang elemen logisnya adalah gabungan (U) didefinisikan untuk variabel biner sebagai berikut:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produk (.)

Operator AND yang elemen logisnya adalah irisan (∩) ditentukan untuk variabel biner sebagai berikut:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

satu . 0 = 0

satu . 1 = 1

Berlawanan (BUKAN)

Operator NOT yang elemen logisnya adalah pelengkap (X) 'ditentukan untuk variabel biner sebagai berikut:

BUKAN 0 = 1

BUKAN 1 = 0

Banyak dalil berbeda dari rekan-rekan mereka dalam aljabar konvensional. Ini karena domain variabel. Misalnya, penambahan unsur alam semesta dalam aljabar Boolean (1 + 1) tidak dapat menghasilkan hasil konvensional 2, karena tidak termasuk unsur-unsur himpunan biner.

Teorema

Aturan nol dan kesatuan

Setiap operasi sederhana yang melibatkan elemen dengan variabel biner, didefinisikan:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

satu . A = A

Kekuatan atau idempotensi yang sama

Operasi antara variabel yang sama didefinisikan sebagai:

A + A = A

UNTUK. A = A

Komplementasi

Setiap operasi antara variabel dan komplemennya didefinisikan sebagai:

A + BUKAN A = 1

UNTUK. BUKAN A = 0

Involusi atau negasi ganda

Setiap negasi ganda akan dianggap sebagai variabel alami.

TIDAK (BUKAN A) = A

Komutatif

A + B = B + A; Komutatifitas jumlah.

UNTUK. B = B. UNTUK; Komutatifitas produk.

Asosiatif

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Asosiatif dari jumlah tersebut.

UNTUK. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Asosiatif produk.

Distributif

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distributivitas jumlah sehubungan dengan produk.

UNTUK. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributivitas produk sehubungan dengan jumlah tersebut.

Hukum penyerapan

Ada banyak hukum absorpsi di antara banyak referensi, beberapa yang paling terkenal adalah:

UNTUK. (A + B) = A

UNTUK. (BUKAN A + B) = A. B

NOT A (A + B) = NOT A. B

(A + B). (A + NOT B) = A

A + A. B = A

A + TIDAK A. B = A + B

BUKAN A + A. B = BUKAN A + B

UNTUK. B + A. BUKAN B = A

Teorema Morgan

Mereka adalah hukum transformasi, yang menangani pasangan variabel yang berinteraksi antara operasi yang ditentukan dari aljabar Boolean (+.).

NOT (A. B) = NOT A + NOT B

TIDAK (A + B) = TIDAK A. TIDAK B

A + B = TIDAK (BUKAN A + TIDAK B)

UNTUK. B = TIDAK (BUKAN A. TIDAK B)

Dualitas

Semua postulat dan teorema memiliki kemampuan dualitas. Ini menyiratkan bahwa dengan menukar variabel dan operasi, proposisi yang dihasilkan diverifikasi. Artinya, saat menukar 0 untuk 1 dan AND untuk OR atau sebaliknya; ekspresi dibuat yang juga akan sepenuhnya valid.

Misalnya jika dalil diambil

satu . 0 = 0

Dan dualitas diterapkan

0 + 1 = 1

Postulat lain yang benar-benar valid diperoleh.

Peta Karnaugh

Peta Karnaugh adalah diagram yang digunakan dalam aljabar Boolean untuk menyederhanakan fungsi logika. Ini terdiri dari pengaturan dua dimensi yang mirip dengan tabel kebenaran logika proposisional. Data dari tabel kebenaran dapat langsung ditangkap di peta Karnaugh.

Peta Karnaugh dapat menampung proses hingga 6 variabel. Untuk fungsi dengan jumlah variabel yang lebih banyak, penggunaan software disarankan untuk menyederhanakan proses.

Diusulkan pada tahun 1953 oleh Maurice Karnaugh, itu ditetapkan sebagai alat tetap di bidang aljabar Boolean, karena implementasinya menyinkronkan potensi manusia dengan kebutuhan untuk menyederhanakan ekspresi Boolean, aspek kunci dalam fluiditas proses digital.

Contoh

Aljabar Boolean digunakan untuk mengurangi gerbang logika dalam suatu rangkaian, di mana prioritasnya adalah untuk membawa kompleksitas atau tingkat rangkaian ke ekspresi serendah mungkin. Ini karena penundaan komputasi yang diandaikan oleh setiap gerbang.

Dalam contoh berikut kita akan mengamati penyederhanaan ekspresi logis menjadi ekspresi minimumnya, menggunakan teorema dan postulat aljabar Boolean.

TIDAK (AB + A + B). TIDAK (A + NOT B)

TIDAK. TIDAK (A + NOT B); Memfaktorkan A dengan faktor persekutuan.

TIDAK. TIDAK (A + NOT B); Dengan teorema A + 1 = 1.

TIDAK (A + B). TIDAK (A + NOT B); dengan teorema A. 1 = A

(BUKAN A. TIDAK B). ;

Menurut teorema Morgan NOT (A + B) = NOT A. TIDAK B

(BUKAN A. TIDAK B). (BUKAN A. B); Dengan teorema negasi ganda NOT (NOT A) = A

TIDAK A. TIDAK B. TIDAK A. B; Pengelompokan aljabar.

TIDAK A. TIDAK A. TIDAK B. B; Komutatifitas produk A. B = B. UNTUK

TIDAK A. TIDAK B. B; Dengan teorema A. A = A

TIDAK A. 0; Dengan teorema A. BUKAN A = 0

0; Dengan teorema A. 0 = 0

UNTUK. B. C + BUKAN A + A. TIDAK B. C

UNTUK. C. (B + NOT B) + NOT A; Anjak (A. C) dengan faktor persekutuan.

UNTUK. C. (1) + BUKAN A; Dengan teorema A + BUKAN A = 1

UNTUK. C + BUKAN A; Dengan aturan teorema nol dan kesatuan 1. A = A

BUKAN A + C ; Berdasarkan hukum Morgan A + NOT A. B = A + B

Untuk solusi ini, hukum Morgan harus diperluas untuk mendefinisikan:

TIDAK (BUKAN A). C + NOT A = NOT A + C

Karena NOT (NOT A) = A oleh involusi.

Sederhanakan fungsi logika

TIDAK A. TIDAK B. TIDAK C + TIDAK A. TIDAK B. C + TIDAK A. NOT C sampai ke ekspresi minimumnya

TIDAK A. TIDAK B. (BUKAN C + C) + BUKAN A. TIDAK C; Anjak (BUKAN A. BUKAN) dengan faktor persekutuan

TIDAK A. TIDAK B. (1) + TIDAK A. TIDAK C; Dengan teorema A + BUKAN A = 1

(BUKAN A. TIDAK B) + (BUKAN A. TIDAK C); Dengan aturan teorema nol dan kesatuan 1. A = A

NOT A (NOT B + NOT C); Memfaktorkan BUKAN A dengan faktor persekutuan

TIDAK A. TIDAK (B. C); Berdasarkan hukum Morgan TIDAK (A. B) = NOT A + NOT B

TIDAK Berdasarkan hukum Morgan TIDAK (A. B) = NOT A + NOT B

Salah satu dari 4 opsi yang dicetak tebal merupakan solusi yang mungkin untuk mengurangi level sirkuit

Sederhanakan fungsi logika ke bentuk yang paling sederhana

(A. TIDAK B. C + A. TIDAK B. B. D + TIDAK A. TIDAK B). C

(A. TIDAK B. C + A. 0. D + TIDAK A. TIDAK B). C; Dengan teorema A. BUKAN A = 0

(A. TIDAK B. C + 0 + TIDAK A. TIDAK B). C; Dengan teorema A. 0 = 0

(A. TIDAK B. C + TIDAK A. TIDAK B). C; Dengan teorema A + 0 = A

UNTUK. TIDAK B. C. C + TIDAK A. TIDAK B. C; Dengan distribusi produk sehubungan dengan jumlahnya

UNTUK. TIDAK B. C + TIDAK A. TIDAK B. C; Dengan teorema A. A = A

TIDAK B. C (A + BUKAN A) ; Memfaktorkan (BUKAN B. C) dengan faktor persekutuan

TIDAK B. C (1); Dengan teorema A + BUKAN A = 1

TIDAK B. C; Dengan aturan teorema nol dan kesatuan 1. A = A

Referensi

1. Aljabar Boolean dan aplikasinya J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematika dan Teknik dalam Ilmu Komputer. Christopher J. Van Wyk. Institut Ilmu dan Teknologi Komputer. Biro Standar Nasional. Washington, DC 20234
3. Matematika untuk Ilmu Komputer. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Departemen Matematika dan Laboratorium Ilmu Komputer dan AI, Institut Teknologi Massachussetts; Akamai Technologies.
4. Elemen Analisis Abstrak. Mícheál O'Searcoid PhD. Jurusan matematika. Perguruan tinggi Universitas Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Pengantar Logika dan Metodologi Ilmu Deduktif. Alfred Tarski, New York Oxford. Pers Universitas Oxford.