KOORDINAT BOLA: CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIKA - 2025

The koordinat bola adalah seperangkat titik lokasi dalam ruang tiga dimensi yang terdiri dari radial mengkoordinasikan dan dua koordinat sudut disebut koordinat polar dan azimut berkoordinasi.

Gambar 1, yang kita lihat di bawah, menunjukkan koordinat bola (r, θ, φ) dari titik M. Koordinat ini mengacu pada sistem ortogonal sumbu Cartesian X, Y, Z dari asal O.

Gambar 1. Koordinat bola (r, θ, φ) dari titik M. (wikimedia commons)

Dalam hal ini, koordinat r titik M adalah jarak dari titik tersebut ke titik asal O. Koordinat kutub θ melambangkan sudut antara sumbu-semi positif Z dan vektor jari-jari OM. Sedangkan koordinat azimut φ adalah sudut antara sumbu positif X dan vektor jari-jari OM ', di mana M' adalah proyeksi ortogonal M pada bidang XY.

Koordinat radial r hanya mengambil nilai positif, tetapi jika sebuah titik terletak di titik asal maka r = 0. Koordinat kutub θ mengambil nilai minimum 0º untuk titik-titik yang terletak pada sumbu-semi positif Z dan nilai maksimum 180º untuk titik-titik yang terletak pada sumbu-semi negatif Z. Terakhir, koordinat azimut φ memiliki nilai minimum 0º dan ketinggian maksimum 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Perubahan koordinat

Selanjutnya, rumus yang memungkinkan diperolehnya koordinat Kartesius (x, y, z) dari titik M akan diberikan, dengan asumsi koordinat bola dari titik (r, θ, φ) yang sama diketahui:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Dengan cara yang sama, akan berguna untuk mencari hubungan yang akan pergi dari koordinat Kartesius (x, y, z) dari suatu titik ke koordinat bola dari titik tersebut:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Basis vektor dalam koordinat bola

Dari koordinat bola ditentukan dasar ortonormal vektor dasar, yang dilambangkan dengan Ur , Uθ , Uφ . Pada Gambar 1 ditunjukkan tiga vektor satuan, yang memiliki karakteristik sebagai berikut:

- Ur adalah vektor satuan yang bersinggungan dengan garis radial θ = ctte dan φ = ctte;

- Uθ adalah vektor satuan yang bersinggungan dengan busur φ = ctte dan r = ctte;

- Uφ adalah vektor satuan yang bersinggungan dengan busur r = ctte dan θ = ctte.

Elemen garis dan volume dalam koordinat bola

Vektor posisi suatu titik dalam ruang dalam koordinat bola ditulis seperti ini:

r = r Ur

Tetapi variasi atau perpindahan yang sangat kecil dari suatu titik dalam ruang tiga dimensi, dalam koordinat ini, diekspresikan oleh hubungan vektor berikut:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Akhirnya, volume dV yang sangat kecil dalam koordinat bola ditulis seperti ini:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Hubungan ini sangat berguna untuk menghitung integral garis dan volume dalam situasi fisik yang memiliki simetri bola.

Hubungan dengan koordinat geografis

Koordinat geografis dipahami sebagai koordinat yang berfungsi untuk menemukan tempat-tempat di permukaan bumi. Sistem ini menggunakan koordinat lintang dan bujur untuk mencari posisi di permukaan bumi.

Dalam sistem koordinat geografis, permukaan bumi diasumsikan berbentuk bola dengan jari-jari Rt, meskipun diketahui datar pada kutubnya, dan dianggap seperangkat garis imajiner yang disebut paralel dan meridian.

Gambar 2. Bujur α dan lintang β pengamat di permukaan bumi.

Garis lintang β adalah sudut yang dibentuk oleh radius yang dimulai dari pusat bumi ke titik yang ingin Anda posisikan. Ini diukur dari bidang ekuator, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2. Di sisi lain, bujur α adalah sudut yang membentuk meridian dari titik yang terletak terhadap meridian nol (dikenal sebagai meridian Greenwich).

Garis lintang dapat berupa garis lintang utara atau selatan, tergantung pada apakah tempat yang Anda temukan berada di belahan bumi utara atau di belahan bumi selatan. Demikian pula, garis bujur dapat berada di barat atau timur tergantung pada apakah lokasinya di barat atau timur dari meridian nol.

Rumus untuk berubah dari geografis ke sferis

Untuk mendapatkan rumus-rumus tersebut, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat sistem koordinat. Bidang XY dipilih bertepatan dengan bidang ekuator, sumbu X positif adalah yang bergerak dari pusat bumi dan melewati meridian nol. Pada gilirannya, sumbu Y melewati meridian 90º E. Permukaan bumi memiliki radius Rt.

Dengan sistem koordinat ini transformasi dari geografi menjadi bola terlihat seperti ini:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Contoh

Contoh 1

Koordinat geografis Palma de Mallorca (Spanyol) adalah:

Bujur Timur 38.847º dan Lintang Utara 39.570º. Untuk menentukan koordinat bola yang sesuai dengan Palma de Mallorca, rumus pertama dari rumus di bagian sebelumnya diterapkan:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Jadi koordinat bola adalah:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

Dalam jawaban sebelumnya, r diambil sama dengan jari-jari rata-rata Bumi.

Contoh 2

Mengetahui bahwa Kepulauan Malvinas (Falkland) memiliki koordinat geografis 59ºO 51,75ºS, tentukan koordinat kutub yang sesuai. Ingatlah bahwa sumbu X bergerak dari pusat bumi ke garis bujur 0º dan pada bidang ekuator; sumbu Y juga di bidang ekuator dan melewati 90º meridian Barat; terakhir sumbu Z pada sumbu rotasi Bumi ke arah Selatan-Utara.

Untuk menemukan koordinat bola yang sesuai, kami menggunakan rumus yang disajikan di bagian sebelumnya:

59ºO 51.75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) yaitu

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Latihan

Latihan 1

Temukan koordinat Cartesian dari Palma de Mallorca dalam sistem referensi Cartesian XYZ yang ditunjukkan pada gambar 2.

Solusi: Sebelumnya, pada contoh 1 diperoleh koordinat bola mulai dari koordinat geografis Palma de Mallorca. Jadi rumus yang disajikan di atas dapat digunakan untuk beralih dari bola ke Kartesius:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50.43º) Sen (38.85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Melakukan perhitungan yang sesuai yang kami miliki:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Latihan 2

Temukan koordinat Cartesian dari Kepulauan Falkland dalam sistem referensi Cartesian XYZ yang ditunjukkan pada gambar 2.

Solusi: Sebelumnya pada contoh 2 diperoleh koordinat bola dimulai dari koordinat geografis Kepulauan Malvinas. Jadi rumus yang disajikan di atas dapat digunakan untuk beralih dari bola ke Kartesius:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cos (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Melakukan perhitungan yang sesuai, kami memperoleh:

Kepulauan Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Referensi

1. Arfken G dan Weber H. (2012). Metode matematika untuk fisikawan. Panduan lengkap. Edisi ke-7. Pers Akademik. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Perhitungan cc. Memecahkan masalah koordinat silinder dan bola. Diperoleh dari: calculo.cc
3. Workshop astronomi. Lintang dan bujur. Diperoleh dari: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Koordinat Bulat." Dari MathWorld-A Wolfram Web. Diperoleh dari: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sistem koordinat bola. Diperoleh dari: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Bidang vektor dalam koordinat silinder dan bola. Diperoleh dari: en.wikipedia.com