KOORDINAT SILINDER: SISTEM, PERUBAHAN DAN LATIHAN - MATEMATIKA

The koordinat silinder yang digunakan untuk menemukan titik-titik dalam ruang tiga dimensi dan terdiri dari radial koordinat ρ, φ azimut mengkoordinasikan dan z koordinat tinggi.

Sebuah titik P yang terletak di ruang angkasa diproyeksikan secara ortogonal pada bidang XY sehingga memunculkan titik P 'di bidang tersebut. Jarak dari titik asal ke titik P 'menentukan koordinat ρ, sedangkan sudut antara sumbu X dan sinar OP' mendefinisikan koordinat φ. Terakhir, koordinat z adalah proyeksi ortogonal dari titik P pada sumbu Z. (lihat gambar 1).

Gambar 1. Titik P dari koordinat silinder (ρ, φ, z). (Elaborasi sendiri)

Koordinat radial ρ selalu positif, koordinat azimut φ bervariasi dari nol radian hingga dua radian pi, sedangkan koordinat z dapat mengambil nilai nyata:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Perubahan koordinat

Relatif mudah untuk mendapatkan koordinat Cartesian (x, y, z) dari sebuah titik P dari koordinat silindernya (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Tetapi dimungkinkan juga untuk mendapatkan koordinat kutub (ρ, φ, z) mulai dari pengetahuan tentang koordinat Cartesian (x, y, z) dari titik P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Basis vektor dalam koordinat silinder

Basis vektor satuan silinder Uρ , Uφ , Uz didefinisikan .

Vektor Uρ bersinggungan dengan garis φ = ctte dan z = ctte (menunjuk ke luar secara radial), vektor Uφ bersinggungan dengan garis ρ = ctte dan z = ctte dan akhirnya Uz memiliki arah sumbu Z yang sama.

Gambar 2. Basis koordinat silinder. (wikimedia commons)

Pada alas satuan silinder, vektor posisi r titik P ditulis secara vektorial seperti ini:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Di sisi lain, perpindahan sangat kecil d r dari titik P dinyatakan sebagai berikut:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Demikian pula, elemen yang sangat kecil dari volume dV dalam koordinat silinder adalah:

dV = ρ dρ dφ dz

Contoh

Ada banyak sekali contoh penggunaan dan penerapan koordinat silinder. Dalam kartografi, misalnya, proyeksi silinder digunakan, berdasarkan koordinat ini. Ada lebih banyak contoh:

Contoh 1

Koordinat silinder memiliki aplikasi dalam teknologi. Sebagai contoh kita memiliki sistem lokasi data CHS (Cylinder-Head-Sector) pada hard disk, yang sebenarnya terdiri dari beberapa disk:

- Silinder atau lintasan sesuai dengan koordinat ρ.

- Sektor ini sesuai dengan posisi disk dari disk yang berputar dengan kecepatan sudut tinggi.

- Kepala sesuai dengan posisi z dari kepala pembacaan pada disk yang sesuai.

Setiap informasi byte memiliki alamat yang tepat dalam koordinat silinder (C, S, H).

Gambar 2. Lokasi informasi dalam koordinat silinder pada sistem hard disk. (wikimedia commons)

Contoh 2

Derek konstruksi memperbaiki posisi beban dalam koordinat silinder. Posisi horizontal ditentukan oleh jarak ke sumbu atau panah crane ρ dan oleh posisi sudutnya φ terhadap beberapa sumbu referensi. Posisi vertikal beban ditentukan oleh koordinat z dari ketinggian.

Gambar 3. Posisi beban pada crane konstruksi dapat dengan mudah dinyatakan dalam koordinat silinder. (Gambar pixabay - penjelasan R. Pérez)

Latihan terselesaikan

Latihan 1

Ada titik P1 dengan koordinat silinder (3, 120º, -4) dan titik P2 dengan koordinat silinder (2, 90º, 5). Temukan jarak Euclidean antara dua titik ini.

Solusi: Pertama, kita lanjutkan untuk mencari koordinat Cartesian dari setiap titik mengikuti rumus yang diberikan di atas.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Jarak Euclidean antara P1 dan P2 adalah:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Latihan 2

Titik P memiliki koordinat Kartesius (-3, 4, 2). Temukan koordinat silinder yang sesuai.

Solusi: Kami melanjutkan untuk menemukan koordinat silinder menggunakan hubungan yang diberikan di atas:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Harus diingat bahwa fungsi arctangent dinilai multi dengan periodisitas 180º. Selain itu, sudut φ harus termasuk dalam kuadran kedua, karena koordinat x dan y dari titik P berada di kuadran tersebut. Inilah alasan mengapa 180º telah ditambahkan ke hasil φ.

Latihan 3

Ekspresikan dalam koordinat silinder dan dalam koordinat Kartesius permukaan silinder dengan jari-jari 2 dan yang porosnya bertepatan dengan sumbu Z.

Solusi: Diketahui bahwa silinder memiliki ekstensi tak terhingga pada arah z, sehingga persamaan permukaan tersebut dalam koordinat silinder adalah:

ρ = 2

Untuk mendapatkan persamaan Cartesian dari permukaan silinder, diambil kuadrat dari kedua anggota persamaan sebelumnya:

ρ ² = 4

Kami mengalikan kedua anggota persamaan sebelumnya dengan 1 dan menerapkan identitas trigonometri dasar (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Tanda kurung dikembangkan untuk mendapatkan:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Kita ingat bahwa tanda kurung pertama (ρ sin (φ)) adalah koordinat y dari sebuah titik di koordinat kutub, sedangkan tanda kurung (ρ cos (φ)) mewakili koordinat x, sehingga kita memiliki persamaan silinder dalam koordinat Cartesian:

y ² + x ² = 2 ²

Persamaan di atas jangan bingung dengan persamaan keliling pada bidang XY, karena dalam kasus ini akan terlihat seperti ini: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Latihan 4

Silinder dengan jari-jari R = 1 m dan tinggi H = 1m massanya didistribusikan secara radial menurut persamaan berikut D (ρ) = C (1 - ρ / R) di mana C adalah konstanta nilai C = 1 kg / m ³ . Temukan massa total silinder dalam kilogram.

Solusi: Hal pertama adalah menyadari bahwa fungsi D (ρ) mewakili massa jenis volumetrik, dan bahwa massa jenis didistribusikan dalam cangkang silinder dengan massa jenis yang menurun dari pusat ke pinggiran. Elemen volume yang sangat kecil menurut kesimetrian soal adalah:

dV = ρ dρ 2π H.

Oleh karena itu, massa yang sangat kecil dari cangkang silinder adalah:

dM = D (ρ) dV

Oleh karena itu, massa total silinder akan diekspresikan oleh integral pasti berikut:

M = ∫ _atau^R D (ρ) dV = ∫ _atau^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _or^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Solusi dari integral terindikasi tidak sulit diperoleh, hasilnya adalah:

∫ _atau^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Dengan menggabungkan hasil ini dalam ekspresi massa silinder, kita memperoleh:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referensi

Arfken G dan Weber H. (2012). Metode matematika untuk fisikawan. Panduan lengkap. Edisi ke-7. Pers Akademik. ISBN 978-0-12-384654-9
Perhitungan cc. Memecahkan masalah koordinat silinder dan bola. Diperoleh dari: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Koordinat Silinder." Dari MathWorld - Web Wolfram. Diperoleh dari: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Sistem koordinat silinder. Diperoleh dari: en.wikipedia.com
wikipedia. Bidang vektor dalam koordinat silinder dan bola. Diperoleh dari: en.wikipedia.com

KOORDINAT SILINDER: SISTEM, PERUBAHAN DAN LATIHAN - MATEMATIKA - 2025