ANTITURUNAN: RUMUS DAN PERSAMAAN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIKA - 2025

Sebuah antiturunan F (x) dari suatu fungsi f (x) juga disebut primitif atau hanya integral tak tentu dari fungsi tersebut, jika dalam interval tertentu I, terpenuhi bahwa F´ (x) = f (x)

Sebagai contoh mari kita ambil fungsi berikut:

f (x) = 4x ³

Antiturunan dari fungsi ini adalah F (x) = x ⁴ , karena saat menurunkan F (x) menggunakan aturan penurunan pangkat:

Kami mendapatkan secara tepat f (x) = 4x ³ .

Namun, ini hanya salah satu dari banyak antiturunan dari f (x), karena fungsi lain ini: G (x) = x ⁴ + 2 juga, karena ketika mendiferensiasi G (x) terhadap x, hal yang sama diperoleh kembali f (x).

Mari kita lihat:

Ingatlah bahwa turunan sebuah konstanta adalah 0. Oleh karena itu , kita dapat menambahkan konstanta ke x ⁴ dan turunannya akan tetap 4x ³ .

Disimpulkan bahwa setiap fungsi dengan bentuk umum F (x) = x ⁴ + C, di mana C adalah konstanta nyata, berfungsi sebagai antiturunan dari f (x).

Contoh ilustrasi di atas dapat diungkapkan seperti ini:

dF (x) = 4x ³ dx

Integral antiturunan atau tak tentu dinyatakan dengan simbol ∫, oleh karena itu:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C.

Di mana fungsi f (x) = 4x ³ disebut integral, dan C adalah konstanta integrasi.

Contoh antiturunan

Gambar 1. Antiturunan tidak lebih dari integral tak tentu. Sumber: Pixabay.

Menemukan antiturunan dari suatu fungsi sangatlah mudah dalam beberapa kasus di mana turunannya terkenal. Sebagai contoh, misalkan fungsi f (x) = sin x, antiturunannya adalah fungsi lain F (x), sehingga ketika mendiferensiasi, kita memperoleh f (x).

Fungsi itu bisa berupa:

F (x) = - cos x

Mari kita periksa apakah itu benar:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Oleh karena itu kami dapat menulis:

∫sen x dx = -cos x + C.

Selain mengetahui turunannya, terdapat beberapa aturan integrasi dasar dan sederhana untuk mencari integral antiturunan atau tak tentu.

Misalkan k adalah konstanta nyata, maka:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C.

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Jika suatu fungsi h (x) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan atau pengurangan dua fungsi, maka integral tak tentu nya adalah:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Ini adalah properti linieritas.

Aturan pangkat integral dapat ditetapkan dengan cara ini:

Untuk kasus n = -1, digunakan aturan berikut:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C.

Mudah untuk menunjukkan bahwa turunan dari ln x tepat x ^-1 .

Persamaan diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan di mana yang tidak diketahui ditemukan sebagai turunan.

Sekarang, dari analisis sebelumnya, mudah untuk menyadari bahwa operasi kebalikan ke turunan adalah integral antiturunan atau tak tentu.

Misalkan f (x) = y´ (x), yaitu turunan dari fungsi tertentu. Kita dapat menggunakan notasi berikut untuk menunjukkan turunan ini:

Segera setelah itu:

Yang tidak diketahui dari persamaan diferensial adalah fungsi y (x), yang turunannya adalah f (x). Untuk mengatasinya, ekspresi sebelumnya diintegrasikan di kedua sisi, yang setara dengan menerapkan antiturunan:

Integral kiri diselesaikan dengan aturan integrasi 1, dengan k = 1, sehingga menyelesaikan ketidaktahuan yang diinginkan:

Dan karena C adalah konstanta riil, untuk mengetahui mana yang sesuai dalam setiap kasus, pernyataan tersebut harus berisi informasi tambahan yang cukup untuk menghitung nilai C. Ini disebut kondisi awal.

Kita akan melihat contoh penerapan semua ini di bagian selanjutnya.

Latihan antiderivatif

- Latihan 1

Terapkan aturan integrasi untuk mendapatkan antiturunan atau integral tak tentu dari fungsi yang diberikan, sederhanakan hasil sebanyak mungkin. Lebih mudah untuk memverifikasi hasil dengan derivasi.

Gambar 2. Latihan antiturunan atau integral pasti. Sumber: Pixabay.

Solusi untuk

Kami menerapkan aturan 3 terlebih dahulu, karena integrand adalah jumlah dari dua suku:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Untuk integral pertama berlaku aturan pangkat:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Dalam aturan integral kedua 1 diterapkan, di mana k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Dan sekarang hasilnya ditambahkan. Kedua konstanta tersebut dikelompokkan menjadi satu, secara umum disebut C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

Solusi b

Dengan linieritas integral ini didekomposisi menjadi tiga integral sederhana, dimana aturan pangkat akan diterapkan:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Perhatikan bahwa sebuah konstanta integrasi muncul untuk setiap integral, tetapi mereka bertemu dalam satu panggilan C.

Solusi c

Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menerapkan sifat distributif perkalian untuk mengembangkan integrand. Kemudian aturan pangkat digunakan untuk mencari setiap integral secara terpisah, seperti pada latihan sebelumnya.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Pembaca yang cermat akan mencatat bahwa dua suku sentral serupa, oleh karena itu dikurangi sebelum diintegrasikan:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Solusi e

Salah satu cara untuk menyelesaikan integral adalah dengan mengembangkan kekuatan, seperti yang dilakukan pada contoh d. Namun, karena eksponennya lebih tinggi, maka disarankan untuk mengubah variabelnya, agar tidak perlu melakukan pengembangan yang lama.

Perubahan variabel adalah sebagai berikut:

u = x + 7

Turunkan ungkapan ini ke kedua sisi:

du = dx

Integral diubah menjadi yang lebih sederhana dengan variabel baru, yang diselesaikan dengan aturan pangkat:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C.

Akhirnya perubahan dikembalikan untuk kembali ke variabel asli:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C.

- Latihan 2

Sebuah partikel pada awalnya diam dan bergerak sepanjang sumbu x. Percepatannya untuk t> 0 diberikan oleh fungsi a (t) = cos t. Diketahui bahwa pada t = 0, posisinya x = 3, semuanya dalam satuan Sistem Internasional. Ditanyakan untuk mencari kecepatan v (t) dan posisi x (t) partikel.

Larutan

Karena percepatan adalah turunan pertama kecepatan terhadap waktu, kita memiliki persamaan diferensial berikut:

a (t) = v´ (t) = cos t

Maka dari itu:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Di sisi lain, kita tahu bahwa kecepatan pada gilirannya adalah turunan dari posisi, oleh karena itu kita mengintegrasikan kembali:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Konstanta integrasi ditentukan dari informasi yang diberikan dalam pernyataan tersebut. Pertama-tama dikatakan bahwa partikel pada awalnya diam, oleh karena itu v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Maka kita memiliki x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Fungsi kecepatan dan posisinya pasti seperti ini:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Referensi

1. Engler, A. 2019. Kalkulus Integral. Universitas Nasional Litoral.
2. Larson, R. 2010. Perhitungan variabel. 9. Edisi. McGraw Hill.
3. Matematika Teks Gratis. Antiturunan. Diperoleh dari: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiturunan. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Integrasi tanpa batas. Diperoleh dari: es.wikipedia.org.