LATAR BELAKANG SEJARAH GEOMETRI ANALITIK - MATEMATIKA - 2024

The anteseden historis analisis geometri kembali ke abad ketujuh belas, ketika Pierre de Fermat dan Rene Descartes didefinisikan ide fundamental. Penemuannya mengikuti modernisasi aljabar dan notasi aljabar François Viète.

Bidang ini memiliki basisnya di Yunani Kuno, terutama dalam karya Apollonius dan Euclid, yang memiliki pengaruh besar dalam bidang matematika ini.

Ide penting di balik geometri analitik adalah bahwa hubungan antara dua variabel, sehingga yang satu adalah fungsi dari yang lain, mendefinisikan kurva.

Ide ini pertama kali dikembangkan oleh Pierre de Fermat. Berkat kerangka esensial ini, Isaac Newton dan Gottfried Leibniz mampu mengembangkan kalkulus.

Filsuf Prancis Descartes juga menemukan pendekatan aljabar terhadap geometri, tampaknya sendiri. Karya Descartes tentang geometri muncul dalam bukunya yang terkenal Discourse on Method.

Buku ini menunjukkan bahwa kompas dan konstruksi geometris tepi lurus melibatkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan akar kuadrat.

Geometri analitik mewakili penyatuan dua tradisi penting dalam matematika: geometri sebagai studi tentang bentuk, dan aritmatika dan aljabar, yang berkaitan dengan kuantitas atau angka. Oleh karena itu, geometri analitik adalah ilmu yang mempelajari bidang geometri dengan menggunakan sistem koordinat.

Sejarah

Latar belakang geometri analitik

Hubungan antara geometri dan aljabar telah berkembang sepanjang sejarah matematika, meskipun geometri mencapai tahap kematangan yang lebih awal.

Misalnya, matematikawan Yunani Euclid mampu menyusun banyak hasil dalam buku klasiknya The Elements.

Tetapi, Apollonius Yunani kuno dari Perga yang meramalkan perkembangan geometri analitik dalam bukunya Conics. Dia mendefinisikan kerucut sebagai persimpangan antara kerucut dan bidang.

Menggunakan hasil Euclid pada segitiga dan garis potong lingkaran yang serupa, ia menemukan hubungan yang diberikan oleh jarak dari titik mana pun "P" dari sebuah kerucut ke dua garis tegak lurus, sumbu utama kerucut, dan garis singgung di titik akhir sumbu. Apollonius menggunakan hubungan ini untuk menyimpulkan sifat-sifat dasar kerucut.

Perkembangan selanjutnya dari sistem koordinat dalam matematika muncul hanya setelah aljabar menjadi matang berkat matematikawan Islam dan India.

Sampai Renaisans, geometri digunakan untuk menjustifikasi penyelesaian masalah aljabar, tetapi tidak banyak yang dapat disumbangkan oleh aljabar untuk geometri.

Situasi ini akan berubah dengan adopsi notasi yang nyaman untuk hubungan aljabar dan pengembangan konsep fungsi matematika, yang sekarang dimungkinkan.

Abad XVI

Pada akhir abad ke-16, matematikawan Prancis François Viète memperkenalkan notasi aljabar sistematis pertama, menggunakan huruf untuk merepresentasikan besaran numerik, baik yang diketahui maupun tidak.

Dia juga mengembangkan metode umum yang kuat untuk mengerjakan ekspresi aljabar dan memecahkan persamaan aljabar.

Berkat ini, ahli matematika tidak sepenuhnya bergantung pada figur geometris dan intuisi geometris untuk menyelesaikan masalah.

Bahkan beberapa ahli matematika mulai meninggalkan cara berpikir geometris standar, yang menurutnya variabel linier panjang dan persegi sesuai dengan luas, sedangkan variabel kubik sesuai dengan volume.

Orang pertama yang mengambil langkah ini adalah filsuf dan matematikawan René Descartes, serta pengacara dan matematikawan Pierre de Fermat.

Landasan geometri analitik

Descartes dan Fermat secara independen mendirikan geometri analitik selama tahun 1630-an, mengadopsi aljabar Viète untuk studi lokus.

Para ahli matematika ini menyadari bahwa aljabar adalah alat yang ampuh dalam geometri dan menemukan apa yang sekarang dikenal sebagai geometri analitik.

Salah satu terobosan yang mereka buat adalah melampaui Viète dengan menggunakan huruf-huruf untuk merepresentasikan jarak yang bervariasi, bukan tetap.

Descartes menggunakan persamaan untuk mempelajari kurva yang didefinisikan secara geometris, dan menekankan perlunya mempertimbangkan kurva grafik aljabar umum dari persamaan polinomial dalam derajat "x" dan "y".

Untuk bagiannya, Fermat menekankan bahwa setiap hubungan antara koordinat "x" dan "y" menentukan kurva.

Dengan menggunakan gagasan ini, dia menyusun kembali pernyataan Apollonius pada istilah aljabar dan memulihkan beberapa karyanya yang hilang.

Fermat menunjukkan bahwa persamaan kuadrat dalam "x" dan "y" dapat ditempatkan dalam bentuk standar dari salah satu bagian kerucut. Meski demikian, Fermat tidak pernah menerbitkan karyanya tentang hal itu.

Berkat kemajuan mereka, apa yang Archimedes hanya bisa selesaikan dengan susah payah dan untuk kasus yang terisolasi, Fermat dan Descartes dapat menyelesaikannya dengan cepat dan untuk sejumlah besar kurva (sekarang dikenal sebagai kurva aljabar).

Tapi idenya hanya mendapat penerimaan umum melalui upaya ahli matematika lain di paruh kedua abad ke-17.

Ahli matematika Frans van Schooten, Florimond de Beaune, dan Johan de Witt membantu mengembangkan karya Decartes dan menambahkan materi tambahan yang penting.

Mempengaruhi

Di Inggris John Wallis mempopulerkan geometri analitik. Dia menggunakan persamaan untuk mendefinisikan kerucut dan mendapatkan propertinya. Meskipun ia menggunakan koordinat negatif secara bebas, Isaac Newton-lah yang menggunakan dua sumbu miring untuk membagi bidang menjadi empat kuadran.

Newton dan German Gottfried Leibniz merevolusi matematika pada akhir abad ke-17 dengan secara independen mendemonstrasikan kekuatan kalkulus.

Newton mendemonstrasikan pentingnya metode analitik dalam geometri dan perannya dalam kalkulus ketika dia menegaskan bahwa kubus apa pun (atau kurva aljabar tingkat ketiga) memiliki tiga atau empat persamaan standar untuk sumbu koordinat yang sesuai. Dengan bantuan Newton sendiri, matematikawan Skotlandia John Stirling membuktikannya pada 1717.

Geometri analitik dari tiga dimensi dan lebih

Meskipun Descartes dan Fermat menyarankan penggunaan tiga koordinat untuk mempelajari kurva dan permukaan dalam ruang, geometri analitik tiga dimensi berkembang perlahan hingga tahun 1730.

Ahli matematika Euler, Hermann, dan Clairaut menghasilkan persamaan umum untuk silinder, kerucut, dan permukaan revolusi.

Misalnya, Euler menggunakan persamaan untuk terjemahan di ruang angkasa untuk mengubah permukaan kuadrat umum sehingga sumbu utamanya bertepatan dengan sumbu koordinatnya.

Euler, Joseph-Louis Lagrange, dan Gaspard Monge membuat geometri analitik tidak bergantung pada geometri sintetik (non-analitik).

Referensi

1. Perkembangan geometri analitik (2001). Dipulihkan dari encyclopedia.com
2. Sejarah geometri analitik (2015). Dipulihkan dari maa.org
3. Analisis (Matematika). Dipulihkan dari britannica.com
4. Geometri analitik. Dipulihkan dari britannica.com
5. Descartes dan kelahiran geometri analitik. Dipulihkan dari sciencedirect.com